【題目】如圖,AB=AC,點(diǎn)O在AB上,⊙O過點(diǎn)B,分別與BC、AB交于D、E,過D作DF⊥AC于F.
(1)求證:DF是⊙O的切線;
(2)若AC與⊙O相切于點(diǎn)G,⊙O的半徑為3,CF=1,求AC長.
【答案】(1)證明見解析;(2)AC=8.
【解析】
(1)連接OD,由AB=AC,利用等邊對等角得到一對角相等,再由OB=OD,利用等邊對等角得到一對角相等,等量代換得到一對同位角相等,利用同位角相等兩直線平行得到OD與AC平行,根據(jù)DF垂直于AC,得到DF垂直于OD,即可確定出DF為圓O的切線;
(2)連接OG,由AC為圓O的切線,利用切線的性質(zhì)得到OG垂直于AC,利用三個(gè)角為直角且鄰邊相等的四邊形為正方形得到ODFG為正方形,且邊長為3,設(shè)AB=AC=x,表示出OA與AG,在直角三角形AOG中,利用勾股定理列出關(guān)于x的方程,求出方程的解得到x的值,即為AC的長.
(1)連接OD,
∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∵OB=OD,
∴∠B=∠ODB,
∴∠ODB=∠C,
∴OD∥AC,
∵DF⊥AC,
∴OD⊥DF,
則DF為圓O的切線;
(2)連接OG,
∵AC與圓O相切,
∴OG⊥AC,
∴∠OGF=∠GFD=∠ODF=90°,且OG=OD,
∴四邊形ODFG為邊長為3的正方形,
設(shè)AB=AC=x,則有AG=x﹣3﹣1=x﹣4,AO=x﹣3,
在Rt△AOG中,利用勾股定理得:AO2=AG2+OG2,即(x﹣3)2=(x﹣4)2+32,
解得:x=8,
則AC=8.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】小明和小剛用如圖所示的兩個(gè)轉(zhuǎn)盤做配紫色游戲,游戲規(guī)則是:分別旋轉(zhuǎn)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤,若其中一個(gè)轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)出了紅色,另一個(gè)轉(zhuǎn)出了藍(lán)色,則可以配成紫色.此時(shí)小剛獲勝,否則小明獲勝.
(1)利用畫樹狀圖或列表法表示游戲所有可能出現(xiàn)的結(jié)果.
(2)這個(gè)游戲?qū)﹄p方公平嗎?請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】閱讀下列材料:
問題:已知方程x2+x﹣1=0,求一個(gè)一元二次方程,使它的根分別是已知方程根的2倍.
解:設(shè)所求方程的根為y,則y=2x,所以x=,把x=,代入已知方程,
得()2 +﹣1=0.
化簡,得y2+2y﹣4=0,
故所求方程為y2+2y﹣4=0
這種利用方程根的代換求新方程的方法,我們稱為“換根法”.
請用閱讀材料提供的“換根法”求新方程(要求:把所求方程化為一般形式):
(1)已知方程x2+2x﹣1=0,求一個(gè)一元二次方程,使它的根分別是已知方程根的相反數(shù),則所求方程為 ;
(2)已知關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個(gè)不等于零的實(shí)數(shù)根,求一個(gè)一元二次方程,使它的根分別是已知方程根的倒數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖是一張長10 dm,寬6 dm矩形紙板,將紙板四個(gè)角各剪去一個(gè)同樣的邊長為x dm的正方形,然后將四周突出部分折起,可制成一個(gè)無蓋方盒.
(1) 無蓋方盒盒底的長為______dm,寬為_____dm(用含x的式子表示)
(2) 若要制作一個(gè)底面積是32dm2的一個(gè)無蓋長方體紙盒,求剪去的正方形邊長x.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,P是⊙O外一點(diǎn),PA,PB分別和⊙O切于A,B兩點(diǎn),C是上任意一點(diǎn),過C作⊙O的切線分別交PA,PB于D,E.(1)若△PDE的周長為10,則PA的長為___ __,(2)連結(jié)CA、CB,若∠P=50°,則∠BCA的度數(shù)為___ __度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,Rt△ABC中,∠C=90°,點(diǎn)P為AC邊上的一點(diǎn),延長BP至點(diǎn)D,使得AD=AP,當(dāng)AD⊥AB時(shí),過D作DE⊥AC于E,AB-BC=4,AC=8,則△ABP面積為_____
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某市從不同學(xué)校隨機(jī)抽取100名初中生對“使用數(shù)學(xué)教輔用書的冊數(shù)”進(jìn)行調(diào)查,統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下:
冊數(shù) | 0 | 1 | 2 | 3 |
人數(shù) | 10 | 20 | 30 | 40 |
關(guān)于這組數(shù)據(jù),下列說法正確的是( )
A.眾數(shù)是2冊B.中位數(shù)是2冊
C.平均數(shù)是3冊D.方差是1.5
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,CA=12cm,BC=12cm;動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C開始沿CA以2cm/s的速度向點(diǎn)A移動(dòng),動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A開始沿AB以4cm/s的速度向點(diǎn)B移動(dòng),動(dòng)點(diǎn)R從點(diǎn)B開始沿BC以 2cm/s的速度向點(diǎn)C移動(dòng).如果P、Q、R分別從C、A、B同時(shí)移動(dòng),移動(dòng)時(shí)間為t(0<t<6)s.
(1)∠CAB的度數(shù)是 ;
(2)以CB為直徑的⊙O與AB交于點(diǎn)M,當(dāng)t為何值時(shí),PM與⊙O相切?
(3)寫出△PQR的面積S隨動(dòng)點(diǎn)移動(dòng)時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式,并求S的最小值及相應(yīng)的t值;
(4)是否存在△APQ為等腰三角形?若存在,求出相應(yīng)的t值;若不存在請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,以 BC 為直徑的⊙O 交 AB 于點(diǎn) D,過點(diǎn) D 作∠ADE=∠A,交 AC 于點(diǎn) E.
(1)求證:DE 是⊙O 的切線;
(2)若 ,BC=15cm,求 DE 的長.
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