Question

如圖，在?ABCD中，已知AB=2，BC=4，∠ABC=60°，∠ABC的平分線交AD于點G，點P從B點開始，沿射線BG運動．
（1）計算BG的長度；
（2）點P運動到何處時與點D的距離最小，并求出最小距離；
（3）點P在運動過程中，PC+PD的最小值是______．

Answer 1

解：（1）過A作AH⊥BG于H，
∵∠ABC=60°，BG平分∠ABC，
∴∠ABG=∠CBG=30°，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠AGB=∠CBG=30°=∠ABG，
∴AG=AB=2，
在Rt△ABH中，AH=AB=1，由勾股定理得：BH==，
∵AB=AG，AH⊥BG，
∴BG=2BH=2；

（2）
過D作DP⊥BG于P，此時P點與點D的距離最小，
則∠DPG=90°，
∵∠DGP=μAGB=30°，DG=AD-AG=4-2=2，
∴DP=DG=1，
即最小距離是1；

（3）
作D關于直線BG的對稱點E，連接CE，交直線BG于P，則此時PC+PD的值最小，且等于CE長，
過D作DZ⊥CE于Z，
由（2）知：DE=2×1=2，
∵CD=AB=2，
∴CD=DE，
∴CE=2EZ，
在Rt△EDZ中，∠EZD=90°，∠EDZ=90°-30°=60°，DE=2，
∴DZ=1，EZ=，
即CE=2EZ=2，
故答案為2．
分析：（1）過A作AH⊥BG于H，求出∠ABG=μCBG=μAGB=30°，求出AH、BH，即可求出答案；
（2）過D作DP⊥BG于P，此時P點與點D的距離最小，求出DG，根據含30度角的直角三角形性質求出即可；
（3）作D關于直線BG的對稱點E，連接CE，交直線BG于P，則此時PC+PD的值最小，且等于CE長，求出EZ，即可求出CE的值，得出答案即可．
點評：本題考查了平行四邊形的性質，含30度角的直角三角形性質，勾股定理，軸對稱等知識點的應用，題目比較好，綜合性比較強，有一定的難度．