Question

5．如圖，拋物線y=-x²+2x+m（m＞0）與y軸交于A，頂點(diǎn)為D，直線y=-$\frac{1}{2}$x-2m分別與x軸、y軸交于B、C兩點(diǎn)，與直線AD相交于E點(diǎn)．
（1）求A、D的坐標(biāo)（用m的代數(shù)式表示）；
（2）將△EAC沿著y軸翻折，若點(diǎn)E的對(duì)稱點(diǎn)P恰好落在拋物線上，求m的值；
（3）若在拋物線y=-x²+2x+m（m＞0）上存在點(diǎn)P，使得以P、A、C、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求此拋物線的解析式．

Answer 1

分析 （1）利用配方法求出頂點(diǎn)D坐標(biāo)，令x=0，可以求出點(diǎn)A坐標(biāo)．
（2）求出直線AC解析式，利用方程組求出點(diǎn)E坐標(biāo)，再求出點(diǎn)E關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)E′坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可解決問(wèn)題．
（3）分AC為邊，AC為對(duì)角線兩種情形分別討論即可解決問(wèn)題．

解答 解：（1）∵y=-x²+2x+m=-（x-1）²+m+1，
∴頂點(diǎn)D（1，m+1），
令x=0，則y=m，
∴點(diǎn)A（0，m），
∴A（0，m），D（1，m+1）．
（2）設(shè)直線AD為y=kx+b，則$\left\{\begin{array}{l}{b=m}\\{k+b=m+1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=m}\end{array}\right.$，
∴直線AD解析式為y=X+m，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{y=-\frac{1}{2}x-2m}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2m}\\{y=-m}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)E坐標(biāo)為（-2m，-m），
∴點(diǎn)E關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)E′（2m，-m），
∵點(diǎn)E′在拋物線上，
∴-m=-4m²+4m+m，
∴m=$\frac{3}{2}$或0，
∵m＞0，
∴m=$\frac{3}{2}$
（3）如圖，
①當(dāng)AC為邊時(shí)，EP∥AC，EP=AC，
∴點(diǎn)P坐標(biāo)（-2m，-4m），
∴-4m=-4m²-4m+m，
∴m=$\frac{1}{4}$或0（舍棄），
②當(dāng)AC為對(duì)角線時(shí)，點(diǎn)P′坐標(biāo)（2m，0），
∴0=-4m²+4m+m，
∴m=$\frac{5}{4}$或0（舍棄）
∴拋物線解析式為y=-x²+2x+$\frac{5}{4}$或y=-x²+2x+$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)綜合題、一次函數(shù)、對(duì)稱、平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法，學(xué)會(huì)用配方法確定拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)，學(xué)會(huì)分類討論，知道可以利用方程組求兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)，屬于中考?jí)狠S題．