已知點(diǎn)A(-1,-1)在拋物線y=(k2-1)x2-2(k-2)x+1上,點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱,
(1)求k的值和點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)是否存在與此拋物線僅有一個(gè)公共點(diǎn)B的直線?如果存在,求出符合條件的直線的解析式;如果不存在,簡要說明理由.
分析:(1)將A點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式中,即可求得k的值;從而確定拋物線的解析式和對(duì)稱軸方程,根據(jù)A、B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱,即可得到點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)若直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn),可考慮兩種情況:
①此直線存在斜率時(shí),可設(shè)出直線的解析式為y=mx+n,然后將B點(diǎn)坐標(biāo)代入此直線的解析式中即可得到m、n的關(guān)系式;聯(lián)立拋物線的解析式,消去y后可得到關(guān)于x的方程,若兩函數(shù)只有一個(gè)交點(diǎn),那么方程的△=0,可得到另一個(gè)關(guān)于m、n的關(guān)系式,聯(lián)立兩式即可求出m、n的值,由此確定該直線的解析式;
②此直線與y軸平行且經(jīng)過點(diǎn)B,此時(shí)直線沒有斜率,根據(jù)B點(diǎn)的坐標(biāo)即可得到直線的解析式.
解答:解:(1)根據(jù)題意,將x=-1,y=-1,代入拋物線的解析式,得
(k
2-1)×(-1)
2-2(k-2)×(-1)+1=-1
解得k
1=1,k
2=-3.
由于k
2-1≠0,所以k=-3.
拋物線的解析式是y=8x
2+10x+1,
對(duì)稱軸為直線x=-
,
∵點(diǎn)B和點(diǎn)A(-1,-1)關(guān)于直線x=-
對(duì)稱,
∴B(-
,-1).
(2)存在.
理由如下:
設(shè)經(jīng)過點(diǎn)B的直線的解析式是y=mx+n,將B點(diǎn)坐標(biāo)代入得m-4n=4.①
又∵要使直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn),
只要使方程mx+n=8x
2+10x+1有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,
方程mx+n=8x
2+10x+1
整理得,8x
2+(10-m)x+1-n=0,
得△=(10-m)
2-32(1-n)=0②
將①代②,解出,m=6,n=
,
則它的解析式是y=6x+
.
又有過點(diǎn)B,平行于y軸的直線與拋物線僅有一個(gè)公共點(diǎn),
即x=-
.
答:直線的解析式y(tǒng)=6x+
或x=-
.
點(diǎn)評(píng):此題主要考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)的求法;要注意的是(2)題中,一條直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí),可以有兩種情況(①經(jīng)過交點(diǎn)且與y軸平行;②不與y軸平行,聯(lián)立拋物線解析式所得方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根),不要漏解.