Question

如圖1，已知點A₁，A₂，A₃是拋物線y=

1

2

x²上的三點，線段A₁B₁，A₂B₂，A₃B₃都垂直于x軸，垂足分別為點B₁，B₂，B₃，延長線段B₂A₂交線段A₁A₃于點C．
（1）在圖（1）中，若點A₁，A₂，A₃的橫坐標依次為1，2，3，求線段CA₂的長；
（2）若將拋物線改為y=

1

2

x²-x+1，如圖2，點A₁，A₂，A₃的橫坐標依次為三個連續(xù)整數(shù)，其他條件不變，求線段CA₂的長．

Answer 1

分析：（1）已知了A₁，A₂，A₃三點的橫坐標，可代入拋物線的解析式中求出A₁B₁，A₂B₂，A₃B₃的長，由于A₁，A₂，A₃的橫坐標是連續(xù)的三個整數(shù)，那么可用中位線定理來求出CB2的長，由此可根據(jù)CA₂=CB₂-A₂B₂，求出CA₂的長．
（2）可先設(shè)出A₁，A₂，A₃的橫坐標依，由于這三個橫坐標也是連續(xù)的整數(shù)，因此可按照（1）的方法進行求解．

解答：解：（1）∵點A₁，A₂，A₃的橫坐標依次為1，2，3，
∴A₁B₁=

1

2

×1=

1

2

，A₂B₂=

1

2

×4=2，A₃B₃=

1

2

×9=

9

2

；
由于A₁B₁∥A₂B₂∥A₃B₃，且B₁B₂=B₂B₃，
∴CB₂=

1

2

（A₁B₁+A₃B₃）=

5

2

，
∴CA₂=CB₂-A₂B₂=

5

2

-2=

1

2

．

（2）設(shè)：點A₁，A₂，A₃的橫坐標依次為n-1，n，n+1，
∴A₁B₁=

1

2

（n-1）²-（n-1）+1，A₂B₂=

1

2

n²-n+1，A₃B₃=

1

2

（n+1）²-（n+1）+1；
由于A₁B₁∥A₂B₂∥A₃B₃，且B₁B₂=B₂B₃，
∴CB₂=

1

2

（A₁B₁+A₃B₃）=

1

2

[

1

2

（n-1）²-（n-1）+1+

1

2

（n+1）²-（n+1）+1]=

1

2

n²-n+

3

2

，
∴CA₂=CB₂-A₂B₂=

1

2

n²-n+

3

2

-（

1

2

n²-n+1）=

1

2

．

點評：本題考查了中位線定理，二次函數(shù)的應(yīng)用等知識點，屬于猜想類試題，解法不唯一，例如本題求CA₂長還可以用B₂點處兩函數(shù)的差來求．