Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線過(guò)A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-1）三點(diǎn)．
（1）求該拋物線的表達(dá)式；
（2）若該拋物線的頂點(diǎn)為D，求直線AD的解析式；
（3）點(diǎn)Q在y軸上，點(diǎn)P在拋物線上，要使Q、P、A、B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知拋物線圖象上不同的三點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法能求出拋物線的解析式．
（2）將（1）的拋物線解析式化為頂點(diǎn)式，即可得到頂點(diǎn)D的坐標(biāo)，點(diǎn)A的坐標(biāo)已知，利用待定系數(shù)法即可求出直線AD的解析式．
（3）題目給出的四邊形四頂點(diǎn)排序沒(méi)有明確，因此要分兩種情況討論：
①線段AB為平行四邊形的邊；那么點(diǎn)Q向左或向右平移AB長(zhǎng)個(gè)單位就能得到點(diǎn)P的坐標(biāo)，點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)是確定的，那么點(diǎn)P的坐標(biāo)就能確定出來(lái)，而點(diǎn)P恰好在拋物線的圖象上，代入拋物線的解析式即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②線段AB為對(duì)角線；那么點(diǎn)Q、P關(guān)于AB的中點(diǎn)對(duì)稱(chēng)（平行四邊形是中心對(duì)稱(chēng)圖形），思路同①，首先確定點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，再代入拋物線的解析式中確定其具體的坐標(biāo)值．
解答：解：（1）由題意，知：拋物線與x軸的交點(diǎn)為A（-1，0）、B（3，0），
可設(shè)其解析式為：y=a（x+1）（x-3），代入點(diǎn)C的坐標(biāo)，得：
-1=a（0+1）（0-3），
解得：a=
故拋物線的解析式：y=（x+1）（x-3）=x²-x-1．

（2）由（1）知，拋物線的解析式：y=x²-x-1=（x-1）²-；
∴D（1，-）；
設(shè)直線AD的解析式為：y=kx+b，代入A（-1，0）、D（1，-），得：
，解得
故直線AD的解析式：y=-x-．

（3）設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，y），分兩種情況討論：
①線段AB為平行四邊形的邊，則QP∥x軸，且QP=AB=4，有：
1、將點(diǎn)Q向左平移4個(gè)單位，則P₁（-4，y），代入拋物線的解析式，得：
y=（-4+1）（-4-3）=7，
即：P₁（-4，7）；
2、將點(diǎn)Q向右平移4個(gè)單位，則P₂（4，y），代入拋物線的解析式，得：
y=（4+1）（4-3）=，
即：P₂（4，）；
②線段AB為平行四邊形的對(duì)角線，則Q、P關(guān)于AB的中點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，即P₃（2，-y），代入拋物線的解析式，得：
-y=（2+1）（2-3）=-1，
即：P₃（2，-1）；
綜上，滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-4，7）、（4，）、（2，-1）．
點(diǎn)評(píng)：前兩個(gè)小題主要考查的是利用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式的解題方法，這是函數(shù)題目中最基礎(chǔ)的題目，需要熟練掌握．最后一個(gè)小題比較容易漏解，這就要求同學(xué)能夠?qū)�滿足條件的平行四邊形的幾種情況都考慮到（或在圖上畫(huà)出來(lái)），此類(lèi)題型都需要進(jìn)行分類(lèi)討論，也是函數(shù)綜合題和壓軸題中的常考題目．