Question

5．如圖．等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，P為BC的中點，小明拿著含45°角的透明三角形，使45°角的頂點落在點P，且繞P旋轉(zhuǎn)．
（1）如圖①：當三角板的兩邊分別AB、AC交于E、F點時，試說明△BPE∽△CFP．
（2）將三角板繞點P旋轉(zhuǎn)到圖②，三角板兩邊分別交BA延長線和邊AC于點E，F(xiàn)．連接EF，△BPE與△EFP是否相似？請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由∠BAC=90°，AB=AC易得∠B=∠C=45°，利用三角形的內(nèi)角和定理可得∠BPE+∠EPB=135°，同理可得∠BPE+∠CPF=135°，易得∠BPE=∠CPF，又因為∠B=∠C，由AA定理易得△BPE∽△CFP；
（2）由（1）中的結(jié)論△BPE∽△CFP，利用相似三角形的性質(zhì)可得$\frac{BE}{CP}=\frac{PE}{FP}$，因為BP=CP，可得$\frac{BE}{BP}=\frac{PE}{FP}$，利用SAS定理可得△BPE與△EFP相似．

解答 （1）證明：如圖①，∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠C=45°，
∵∠B+∠BPE+∠BEP=180°，
∴∠BPE+∠EPB=135°，
∵∠EPF=45°，∠BPE+∠EPF+∠CPF=180°，
∴∠BPE+∠CPF=135°，
∴∠BPE=∠CPF，
∵∠B=∠C，
∴△BPE∽△CFP；

（2）解：△BPE與△EFP相似，
理由：如圖②，
∵△BPE∽△CFP，
∴$\frac{BE}{CP}=\frac{PE}{FP}$，
∵CP=BP，
∴$\frac{BE}{BP}=\frac{PE}{FP}$，
∵∠B=∠EPF=45°，
∴△BPE∽△EFP．

點評 本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)及判定，利用三角形的內(nèi)角和定理發(fā)現(xiàn)角的關系是解答此題的關鍵．