Question

對非負(fù)實(shí)數(shù)x，“四舍五入”到個位的值記為＜x＞，即：當(dāng)n為非負(fù)整數(shù)時，如果n-

1

2

≤x＜n+

1

2

，則＜x＞=n．
試解決下列問題：
（1）①當(dāng)x≥0，m為非負(fù)整數(shù)時，求證：＜x+m＞=m+＜x＞；②舉例說明＜x+y＞=＜x＞+＜y＞不恒成立；
（2）求滿足＜x＞=

4

3

x的所有非負(fù)實(shí)數(shù)x的值；
（3）設(shè)n為常數(shù)，且為正整數(shù)，函數(shù)y=x2-x+

1

4

的自變量x在n≤x＜n+1范圍內(nèi)取值時，函數(shù)值y為整數(shù)的個數(shù)記為a，滿足＜

k

＞=n的所有整數(shù)k的個數(shù)記為b．求證：a=b=2n．

Answer 1

分析：（1）①分別表示出＜x+m＞和＜x＞，即可得到所求不等式；②舉出反例說明即可，譬如稍微超過0.5的兩個數(shù)相加；
（2）

4

3

x為整數(shù)，設(shè)這個整數(shù)為k，易得這個整數(shù)應(yīng)在應(yīng)在k-

1

2

和k+

1

2

之間，包括kx-

1

2

，不包括k+

1

2

，求得整數(shù)k的值即可求得x的非負(fù)實(shí)數(shù)的值；
（3）易得二次函數(shù)的對稱軸，那么可求得二次函數(shù)的函數(shù)值在相應(yīng)的自變量的范圍內(nèi)取值，進(jìn)而求得相應(yīng)的a的個數(shù)；利用所給關(guān)系式易得

k

的整數(shù)個數(shù)為2n，由此得證．

解答：解：（1）①證明：設(shè)＜x＞=n，則n-

1

2

≤x＜n+

1

2

，n為非負(fù)整數(shù)；
∴(n+m)-

1

2

≤x+m＜(n+m)+

1

2

，且n+m為非負(fù)整數(shù)，
∴＜x+m＞=n+m=m+＜x＞．
②舉反例：＜0.6＞+＜0.7＞=1+1=2，而＜0.6+0.7＞=＜1.3＞=1，
∴＜0.6＞+＜0.7＞≠＜0.6+0.7＞，
∴＜x+y＞=＜x＞+＜y＞不一定成立；

（2）∵x≥0，

4

3

x為整數(shù)，設(shè)

4

3

x=k，k為整數(shù)，
則x=

3

4

k
∴＜

3

4

k＞=k
∴k-

1

2

≤

3

4

k＜k+

1

2

，k≥0，
∵O≤k≤2，
∴k=0，1，2，
∴x=0，

3

4

，

3

2

．

（3）∵函數(shù)y=x2-x+

1

4

=(x-

1

2

)2，n為整數(shù)，
當(dāng)n≤x＜n+1時，y隨x的增大而增大，
∴(n-

1

2

)2≤y＜(n+1-

1

2

)2，即(n-

1

2

)2≤y＜(n+

1

2

)2，①
∴n2-n+

1

4

≤y＜n2+n+

1

4

，∵y為整數(shù)，
∴y=n²-n+1，n²-n+2，n²-n+3，…，n²-n+2n，共2n個y，
∴a=2n，②
∵k＞0，＜

k

＞=n，
則n-

1

2

≤

k

＜n+

1

2

，
∴(n-

1

2

)2≤k＜(n+

1

2

)2，③
比較①，②，③得：a=b=2n．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是理解：對非負(fù)實(shí)數(shù)x“四舍五入”到個位的值記為＜x＞，即：當(dāng)n為非負(fù)整數(shù)時，如果n-

1

2

≤x＜n+

1

2

，則＜x＞=n．