Question

已知關(guān)于x的一元二次方程（k-1）x²-2kx+k+2=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根．
（1）求k的取值范圍；
（2）若x₁，x₂是一元二次方程的兩個實(shí)數(shù)根，且滿足

1

x1

+

1

x2

=-2，求k的值，并求此時方程的解．

Answer 1

考點(diǎn)：根的判別式,一元二次方程的定義,根與系數(shù)的關(guān)系

專題：

分析：（1）根據(jù)根的判別式可得△=（-2k）²-4（k-1）（k+2），進(jìn)而可判斷△＞0，從而可判斷此方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系計算x₁+x₂，x₁•x₂的值，而

1

x1

+

1

x2

=

x1+x2

x1x2

=-2，可把x₁+x₂，x₁•x₂的值代入，進(jìn)而可求出k，進(jìn)一步求得方程的解即可．

解答：解：（1）∵關(guān)于x的一元二次方程（k-1）x²-2kx+k+2=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，
∴△=（-2k）²-4（k-1）（k+2）=-4k+8＞0，且k-1≠0，
解得：k＜2，k≠1．
（2）∵x₁，x₂是一元二次方程的兩個實(shí)數(shù)根，
∴x₁+x₂=

2k

k-1

，x₁•x₂=

k+2

k-1

，
∴

1

x1

+

1

x2

=

x1+x2

x1x2

=

2k

k+2

=-2，
解得：k=-1，
∴方程為-2x²+2x+1=0
解得：x₁=-1+

3

，x₂=-1-

3

．

點(diǎn)評：本題考查了根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系，掌握根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．