Question

15．如圖，AB是⊙O的半徑，點(diǎn)P是BA延長線上一點(diǎn)，PE切⊙O于點(diǎn)D，延長PB至C，PA：AB：BC=1：3：1，則sin∠CDE的值為（　　）

• A． $\frac{4}{5}$
• B． $\frac{\sqrt{13}}{13}$
• C． $\frac{3}{4}$
• D． $\frac{3\sqrt{13}}{13}$

Answer 1

分析 連接AD，OD，作CM⊥PD于M，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OD⊥PD，于是得到OD∥CM，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{OD}{CM}=\frac{PO}{PC}=\frac{1}{2}=\frac{PD}{PM}$，根據(jù)勾股定理得到PM=$\sqrt{P{C}^{2}-C{M}^{2}}$=4x然后又三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論．

解答 解：連接AD，OD，作CM⊥PD于M，
∵PE切⊙O于點(diǎn)D，
∴OD⊥PD，
∴OD∥CM，
設(shè)PA=x，AB=3x，BC=x，
∴AO=BO=DO=1.5x，PO=2.5x，PC=5x，
∴OD∥CM，
∴△POD∽△PCM，
∴$\frac{OD}{CM}=\frac{PO}{PC}=\frac{1}{2}=\frac{PD}{PM}$，
∴CM=2OD=3x，
∴PM=$\sqrt{P{C}^{2}-C{M}^{2}}$=4x，
∴CD=$\sqrt{13}$x，
∴sin∠CDE=$\frac{3\sqrt{13}}{13}$，
故選D．

點(diǎn)評 本題考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．