17.綜合探究:如圖1,在平面直角坐標系xOy中,拋物線y=-$\frac{1}{3}{x}^{2}+bx+8$與x軸交于點A(-6,0)和點B(點A在點B左側(cè)),與y軸交于點C,點P為線段AO上的一個動點,過點P作x軸的垂線l與拋物線交于點E,連接AE、EC.
(1)求拋物線的表達式及點C的坐標;
(2)連接AC交直線l于點D,則在點P運動過程中,當點D為EP中點時,S△ADP:S△CDE=1:2;
(3)如圖2,當EC∥x軸時,點P停止運動,此時,在拋物線上是否存在點G,使得以點A、E、G為頂點的三角形是直角三角形?若存在,請求出點G的坐標,若不存在,說明理由.

分析 (1)用待定系數(shù)法求出拋物線解析式,令x=0求出y軸交點坐標;
(2)先確定出直線AC解析式為y=$\frac{4}{3}$x+8,設(shè)出點E的坐標,表示出點D(m,-$\frac{1}{6}$m2+-$\frac{1}{3}$x+4),而點D在直線AC上,列出方程$\frac{4}{3}$m+8=-$\frac{1}{6}$m2+-$\frac{1}{3}$x+4,求出m,從而得出結(jié)論;
(3)先求出點P的坐標,再分兩種情況計算Ⅰ、當∠AEG=90°時,判斷出△EMG∽△APE,得出比例式求解即可,Ⅱ、當∠EAG=90°時,判斷出△GNA∽△APE,得到比例式計算.

解答 解:(1)∵點A(-6,0)在拋物線y=-$\frac{1}{3}$x2+bx+8上,
∴0=-$\frac{1}{3}$(-6)2+b(-6)+8,
∴b=-$\frac{2}{3}$,
∴y=-$\frac{1}{3}$x2-$\frac{2}{3}$x+8,
令x=0,y=8,
∴C(0,8)
(2)設(shè)E(m,-$\frac{1}{3}$m2-$\frac{2}{3}$m+8),
∴P(m,0),
∵點D為EP中點,
∴DP=DE,D(m,-$\frac{1}{6}$m2+-$\frac{1}{3}$x+4),
∵A(-6,0),C(0,8),
∴直線AC解析式為y=$\frac{4}{3}$x+8,
∵點D在直線AC上,
∴$\frac{4}{3}$m+8=-$\frac{1}{6}$m2+-$\frac{1}{3}$x+4,
∴m=-6(舍)或m=-4,
∴P(-4,0)
∴AP=2,OP=4,
∴$\frac{{S}_{△ADP}}{{S}_{△CDE}}=\frac{\frac{1}{2}DE×AP}{\frac{1}{2}DP×OP}=\frac{AP}{OP}=\frac{1}{2}$;
故答案為1:2
(3)存在點G使得以點A,E,G為頂點的三角形為直角三角形,
連接EG,AG,作GM⊥l,GN⊥x軸,
∵EC∥x軸,
∴EP=CO=8,
把y=8代入y=-$\frac{1}{3}$x2-$\frac{2}{3}$x+8,
∴8=-$\frac{1}{3}$x2-$\frac{2}{3}$x+8,
∴x=0(舍),或x=-2,
∴P(-2,0),
∴AP=AO-PO=4,
Ⅰ、如圖1,

當∠AEG=90°時,
∴∠MEG+∠AEP=90°,
∵∠AEP+∠EAP=90°,
∴∠MEG=∠EAP,
∵∠APE=∠EMG=90°,
∴△EMG∽△APE,
∴$\frac{EM}{AP}=\frac{MG}{EP}$,
設(shè)點G(m,-$\frac{1}{3}$m2-$\frac{2}{3}$m+8)(m>0),
∴GN=MP=-$\frac{1}{3}$m2-$\frac{2}{3}$m+8,
∴EM=EP-MP=8-(-$\frac{1}{3}$m2-$\frac{2}{3}$m+8)=y=$\frac{1}{3}$m2+$\frac{2}{3}$m,
MG=PN=PO+ON=2+m,
∵$\frac{EM}{AP}=\frac{MG}{EP}$,
∴$\frac{\frac{1}{3}{m}^{2}+\frac{2}{3}}{4}=\frac{2+m}{8}$,
∴m=-2(舍)或m=$\frac{3}{2}$,
∴G($\frac{3}{2}$,$\frac{25}{4}$);
Ⅱ、如圖2,

當∠EAG=90°時,
∴∠NAG+∠EAP=90°,
∵∠AEP+∠EAP=90°,
∴∠NAG=∠AEP,
∵∠APE=∠GNA=90°,
∴△GNA∽△APE,
∴$\frac{GN}{AP}=\frac{AN}{EP}$,
設(shè)點G(n,-$\frac{1}{3}$n2-$\frac{2}{3}$n+8)(n>0,-$\frac{1}{3}$n2-$\frac{2}{3}$n+8<0),
∴GN=$\frac{1}{3}$m2+$\frac{2}{3}$m+8,
∴AN=AO+ON=6+n,
∵$\frac{GN}{AP}=\frac{AN}{EP}$,
∴$\frac{\frac{1}{3}{n}^{2}+\frac{2}{3}n-8}{4}=\frac{6+n}{8}$,
∴n=-6(舍),或n=$\frac{11}{2}$,
∴G($\frac{11}{2}$,-$\frac{23}{4}$),
符合條件的G點的坐標為G($\frac{3}{2}$,$\frac{25}{4}$)或G($\frac{11}{2}$,-$\frac{23}{4}$),

點評 此題是二次函數(shù)綜合題,主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式,相似三角形的性質(zhì)和判定,判斷三角形相似是解本題的關(guān)鍵.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

7.當某一幾何體在投影面P前的擺放位置確定以后,改變它與投影面P的距離,其正投影的形狀( 。
A.不發(fā)生變化B.變大C.變小D.無法確定

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

8.如圖,△ABC中,DE∥BC,$\frac{AD}{DB}$=$\frac{1}{2}$,DE=2cm,則BC邊的長是( 。
A.6cmB.4cmC.8cmD.7cm

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

5.如圖,一個長方體的左視圖、俯視圖,根據(jù)圖示的數(shù)據(jù)可計算出主視圖的面積為( 。
A.12B.24C.32D.48

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:解答題

12.在數(shù)軸上描出表示下列各數(shù)的點,并用“<”把它們連接起來.
4,-2,-4,3.5,0,$-\frac{2}{3}$.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

2.下列幾何體中,主視圖和俯視圖都為矩形的是( 。
A.B.C.D.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

9.如圖所示幾何體的俯視圖是( 。
A.B.C.D.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

6.不等式組$\left\{\begin{array}{l}{2x-3>-1}\\{8-4x≤0}\end{array}\right.$的解集在數(shù)軸上表示為(  )
A.B.C.D.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

7.在下列四個選項中,不適合普查的是(  )
A.了解全班同學每周體育鍛煉的時間
B.鞋廠檢查生產(chǎn)鞋底能承受的彎折次數(shù)
C.學校招聘新教師,對應聘教師面試
D.某中學調(diào)查九年級全體540名學生的平均身高

查看答案和解析>>

同步練習冊答案