Question

17．綜合探究：如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=-$\frac{1}{3}{x}^{2}+bx+8$與x軸交于點(diǎn)A（-6，0）和點(diǎn)B（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P為線段AO上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線l與拋物線交于點(diǎn)E，連接AE、EC．
（1）求拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）連接AC交直線l于點(diǎn)D，則在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)D為EP中點(diǎn)時(shí)，S_△ADP：S_△CDE=1：2；
（3）如圖2，當(dāng)EC∥x軸時(shí)，點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng)，此時(shí)，在拋物線上是否存在點(diǎn)G，使得以點(diǎn)A、E、G為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)G的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）用待定系數(shù)法求出拋物線解析式，令x=0求出y軸交點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）先確定出直線AC解析式為y=$\frac{4}{3}$x+8，設(shè)出點(diǎn)E的坐標(biāo)，表示出點(diǎn)D（m，-$\frac{1}{6}$m²+-$\frac{1}{3}$x+4），而點(diǎn)D在直線AC上，列出方程$\frac{4}{3}$m+8=-$\frac{1}{6}$m²+-$\frac{1}{3}$x+4，求出m，從而得出結(jié)論；
（3）先求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再分兩種情況計(jì)算Ⅰ、當(dāng)∠AEG=90°時(shí)，判斷出△EMG∽△APE，得出比例式求解即可，Ⅱ、當(dāng)∠EAG=90°時(shí)，判斷出△GNA∽△APE，得到比例式計(jì)算．

解答 解：（1）∵點(diǎn)A（-6，0）在拋物線y=-$\frac{1}{3}$x²+bx+8上，
∴0=-$\frac{1}{3}$（-6）²+b（-6）+8，
∴b=-$\frac{2}{3}$，
∴y=-$\frac{1}{3}$x²-$\frac{2}{3}$x+8，
令x=0，y=8，
∴C（0，8）
（2）設(shè)E（m，-$\frac{1}{3}$m²-$\frac{2}{3}$m+8），
∴P（m，0），
∵點(diǎn)D為EP中點(diǎn)，
∴DP=DE，D（m，-$\frac{1}{6}$m²+-$\frac{1}{3}$x+4），
∵A（-6，0），C（0，8），
∴直線AC解析式為y=$\frac{4}{3}$x+8，
∵點(diǎn)D在直線AC上，
∴$\frac{4}{3}$m+8=-$\frac{1}{6}$m²+-$\frac{1}{3}$x+4，
∴m=-6（舍）或m=-4，
∴P（-4，0）
∴AP=2，OP=4，
∴$\frac{{S}_{△ADP}}{{S}_{△CDE}}=\frac{\frac{1}{2}DE×AP}{\frac{1}{2}DP×OP}=\frac{AP}{OP}=\frac{1}{2}$；
故答案為1：2
（3）存在點(diǎn)G使得以點(diǎn)A，E，G為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形，
連接EG，AG，作GM⊥l，GN⊥x軸，
∵EC∥x軸，
∴EP=CO=8，
把y=8代入y=-$\frac{1}{3}$x²-$\frac{2}{3}$x+8，
∴8=-$\frac{1}{3}$x²-$\frac{2}{3}$x+8，
∴x=0（舍），或x=-2，
∴P（-2，0），
∴AP=AO-PO=4，
Ⅰ、如圖1，

當(dāng)∠AEG=90°時(shí)，
∴∠MEG+∠AEP=90°，
∵∠AEP+∠EAP=90°，
∴∠MEG=∠EAP，
∵∠APE=∠EMG=90°，
∴△EMG∽△APE，
∴$\frac{EM}{AP}=\frac{MG}{EP}$，
設(shè)點(diǎn)G（m，-$\frac{1}{3}$m²-$\frac{2}{3}$m+8）（m＞0），
∴GN=MP=-$\frac{1}{3}$m²-$\frac{2}{3}$m+8，
∴EM=EP-MP=8-（-$\frac{1}{3}$m²-$\frac{2}{3}$m+8）=y=$\frac{1}{3}$m²+$\frac{2}{3}$m，
MG=PN=PO+ON=2+m，
∵$\frac{EM}{AP}=\frac{MG}{EP}$，
∴$\frac{\frac{1}{3}{m}^{2}+\frac{2}{3}}{4}=\frac{2+m}{8}$，
∴m=-2（舍）或m=$\frac{3}{2}$，
∴G（$\frac{3}{2}$，$\frac{25}{4}$）；
Ⅱ、如圖2，

當(dāng)∠EAG=90°時(shí)，
∴∠NAG+∠EAP=90°，
∵∠AEP+∠EAP=90°，
∴∠NAG=∠AEP，
∵∠APE=∠GNA=90°，
∴△GNA∽△APE，
∴$\frac{GN}{AP}=\frac{AN}{EP}$，
設(shè)點(diǎn)G（n，-$\frac{1}{3}$n²-$\frac{2}{3}$n+8）（n＞0，-$\frac{1}{3}$n²-$\frac{2}{3}$n+8＜0），
∴GN=$\frac{1}{3}$m²+$\frac{2}{3}$m+8，
∴AN=AO+ON=6+n，
∵$\frac{GN}{AP}=\frac{AN}{EP}$，
∴$\frac{\frac{1}{3}{n}^{2}+\frac{2}{3}n-8}{4}=\frac{6+n}{8}$，
∴n=-6（舍），或n=$\frac{11}{2}$，
∴G（$\frac{11}{2}$，-$\frac{23}{4}$），
符合條件的G點(diǎn)的坐標(biāo)為G（$\frac{3}{2}$，$\frac{25}{4}$）或G（$\frac{11}{2}$，-$\frac{23}{4}$），

點(diǎn)評(píng) 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，相似三角形的性質(zhì)和判定，判斷三角形相似是解本題的關(guān)鍵．