【題目】如圖①,拋物線yax2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(﹣2,0)、B4,0)、C0,3)三點(diǎn).

1)試求拋物線的解析式;

2)點(diǎn)Py軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接PA,試求5PA+4PC的最小值;

3)如圖②,若直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)T(﹣40),Q為直線l上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)以AB、Q為頂點(diǎn)所作的直角三角形有且僅有三個(gè)時(shí),試求直線l的解析式.

【答案】1;(25PA+4PC的最小值為18;(3)直線l的解析式為.

【解析】

1)設(shè)出交點(diǎn)式,代入C點(diǎn)計(jì)算即可 2)連接AC、BC,過(guò)點(diǎn)AAEBC于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)PPDBC于點(diǎn)D,易證△CDP∽△COB,得到比例式,得到PD=PC,所以5PA+4PC5PA+PC)=5PA+PD),當(dāng)點(diǎn)A、P、D在同一直線上時(shí),5PA+4PC5PA+PD)=5AE最小,利用等面積法求出AE=,即最小值為18 (3)取AB中點(diǎn)F,以F為圓心、FA的長(zhǎng)為半徑畫圓, 當(dāng)∠BAQ90°或∠ABQ90°時(shí),即AQBQ垂直x軸,所以只要直線l不垂直x軸則一定找到兩個(gè)滿足的點(diǎn)Q使∠BAQ90°或∠ABQ90°,即∠AQB90°時(shí),只有一個(gè)滿足條件的點(diǎn)Q,∴直線l與⊙F相切于點(diǎn)Q時(shí),滿足∠AQB90°的點(diǎn)Q只有一個(gè);此時(shí),連接FQ,過(guò)點(diǎn)QQGx軸于點(diǎn)G,利用cosQFT求出QG,分出情況Qx軸上方和x軸下方時(shí),分別代入直接l得到解析式即可

解:(1)∵拋物線與x軸交點(diǎn)為A(﹣20)、B40

yax+2)(x4

把點(diǎn)C0,3)代入得:﹣8a3

a=﹣

∴拋物線解析式為y=﹣x+2)(x4)=﹣x2+x+3

2)連接AC、BC,過(guò)點(diǎn)AAEBC于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)PPDBC于點(diǎn)D

∴∠CDP=∠COB90°

∵∠DCP=∠OCB

∴△CDP∽△COB

B4,0),C03

OB4,OC3BC=5

PDPC

5PA+4PC5PA+PC)=5PA+PD

∴當(dāng)點(diǎn)A、P、D在同一直線上時(shí),5PA+4PC5PA+PD)=5AE最小

A(﹣20),OCABAEBC

SABCABOCBCAE

AE

5AE18

5PA+4PC的最小值為18

3)取AB中點(diǎn)F,以F為圓心、FA的長(zhǎng)為半徑畫圓

當(dāng)∠BAQ90°或∠ABQ90°時(shí),即AQBQ垂直x軸,

∴只要直線l不垂直x軸則一定找到兩個(gè)滿足的點(diǎn)Q使∠BAQ90°或∠ABQ90°

∴∠AQB90°時(shí),只有一個(gè)滿足條件的點(diǎn)Q

∵當(dāng)Q在⊙F上運(yùn)動(dòng)時(shí)(不與AB重合),∠AQB90°

∴直線l與⊙F相切于點(diǎn)Q時(shí),滿足∠AQB90°的點(diǎn)Q只有一個(gè)

此時(shí),連接FQ,過(guò)點(diǎn)QQGx軸于點(diǎn)G

∴∠FQT90°

FA(﹣2,0)、B40)的中點(diǎn)

F1,0),FQFA3

T(﹣4,0

TF5,cosQFT

RtFGQ中,cosQFT

FGFQ

xQ1QG

①若點(diǎn)Qx軸上方,則Q

設(shè)直線l解析式為:ykx+b

解得:

∴直線l

②若點(diǎn)Qx軸下方,則Q

∴直線l

綜上所述,直線l的解析式為

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(1)求王亮解題的學(xué)習(xí)收益量y與用于解題的時(shí)間x之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量x的取值范圍;

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