【題目】問(wèn)題背景:如圖1:在四邊形ABCD中,AB=AD,∠BAD=120 ,∠B=∠ADC=90°.E、F分別是 BC,CD 上的點(diǎn)。且∠EAF=60° . 探究圖中線段BE,EF,FD 之間的數(shù)量關(guān)系。 小王同學(xué)探究此問(wèn)題的方法是,延長(zhǎng) FD 到點(diǎn) G,使 DG=BE,連結(jié) AG,先證明△ABE≌△ADG, 再證明△AEF≌△AGF,可得出結(jié)論,他的結(jié)論應(yīng)是_________;
探索延伸:如圖2,若四邊形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180° .E,F 分別是 BC,CD 上的點(diǎn),且∠EAF=∠BAD,上述結(jié)論是否仍然成立,并說(shuō)明理由;
實(shí)際應(yīng)用:如圖3,在某次軍事演習(xí)中,艦艇甲在指揮中心(O處)北偏西30°的A處,艦艇乙在指揮中心南偏東 70°的B處,并且兩艦艇到指揮中心的距離相等,接到行動(dòng)指令后,艦艇甲向正東方向以55 海里/小時(shí)的速度前進(jìn),艦艇乙沿北偏東 50°的方向以 75 海里/小時(shí)的速度前進(jìn)2小時(shí)后, 指揮中心觀測(cè)到甲、乙兩艦艇分別到達(dá) E,F 處,且兩艦艇之間的夾角為70° ,試求此時(shí)兩艦 艇之間的距離。
【答案】問(wèn)題背景:EF=BE+DF,理由見(jiàn)解析;探索延伸:結(jié)論仍然成立,理由見(jiàn)解析;實(shí)際應(yīng)用:210海里.
【解析】
問(wèn)題背景:延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G.使DG=BE.連結(jié)AG,即可證明△ABE≌△ADG,可得AE=AG,再證明△AEF≌△AGF,可得EF=FG,即可解題;
探索延伸:延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G.使DG=BE.連結(jié)AG,即可證明△ABE≌△ADG,可得AE=AG,再證明△AEF≌△AGF,可得EF=FG,即可解題;
實(shí)際應(yīng)用:連接EF,延長(zhǎng)AE、BF相交于點(diǎn)C,然后與(2)同理可證.
問(wèn)題背景:EF=BE+DF,證明如下:
在△ABE和△ADG中,
,
∴△ABE≌△ADG(SAS),
∴AE=AG,∠BAE=∠DAG,
∵∠EAF=∠BAD,
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF,
∴∠EAF=∠GAF,
在△AEF和△GAF中,
,
∴△AEF≌△AGF(SAS),
∴EF=FG,
∵FG=DG+DF=BE+DF,
∴EF=BE+DF,
故答案為: EF=BE+DF;
探索延伸:結(jié)論EF=BE+DF仍然成立,
理由:延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G.使DG=BE,連結(jié)AG,如圖2,
在△ABE和△ADG中,,
∴△ABE≌△ADG(SAS),
∴AE=AG,∠BAE=∠DAG,
∵∠EAF=∠BAD,
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF,
∴∠EAF=∠GAF,
在△AEF和△GAF中,
,
∴△AEF≌△AGF(SAS),
∴EF=FG,
∵FG=DG+DF=BE+DF,
∴EF=BE+DF;
實(shí)際應(yīng)用:如圖3,連接EF,延長(zhǎng)AE、BF相交于點(diǎn)C,
∵∠AOB=30°+90°+(90°-70°)=140°,∠EOF=70°,
∴∠EOF=∠AOB,
又∵OA=OB,∠OAC+∠OBC=(90°-30°)+(70°+50°)=180°,
∴符合探索延伸中的條件,
∴結(jié)論EF=AE+BF成立,
即EF=2×(45+60)=210(海里),
答:此時(shí)兩艦艇之間的距離是210海里.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在正方形ABCD中,AB=2,延長(zhǎng)BC到點(diǎn)E,使CE=1,連接DE,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以每秒1個(gè)單位的速度沿AB-BC-CD-DA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng),設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,當(dāng)△ABP和△DCE全等時(shí),t的值____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,把長(zhǎng)方形紙片ABCD沿對(duì)角線折疊,設(shè)重疊部分為△EBD,那么,有下列說(shuō)法:①△EBA和△EDC一定是全等三角形;②△EBD是等腰三角形,EB=ED;③折疊后得到的圖形是軸對(duì)稱圖形;④折疊后∠ABE和∠CBD一定相等;其中正確的有( )
A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)A、D、C、F在同一條直線上,AD=CF,AB=DE,BC=EF.
(1)求證:ΔABC≌△DEF;
(2)若∠A=55°,∠B=88°,求∠F的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,∠A=∠B=90°,AB=7,AD=2,BC=3,如果邊AB上的點(diǎn)P使得以P,A,D為頂點(diǎn)的三角形和以P,B,C為頂點(diǎn)的三角形相似,則這樣的P點(diǎn)共有幾個(gè)( 。
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖①,在△ABC中,∠ACB是直角,∠B=60°,AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線,AD、CE相交于點(diǎn)F.
(1)請(qǐng)你判斷并寫(xiě)出FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系(不需證明);
(2)如圖②,如果∠ACB不是直角,其他條件不變,那么在(1)中所得的結(jié)論是否仍然成立?若成立,請(qǐng)證明;若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列說(shuō)法正確的是( )
A. 中位數(shù)就是一組數(shù)據(jù)中最中間的一個(gè)數(shù)
B. 這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是9
C. 如果的平均數(shù)是1,那么
D. 一組數(shù)據(jù)的方差是這組數(shù)據(jù)的極差的平方
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(8分)將一張長(zhǎng)方形紙條ABCD按如圖所示折疊,若折疊角∠FEC=64°.
(1)求∠1的度數(shù);
(2)求證:△EFG是等腰三角形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在正方形ABCD中,點(diǎn)E在邊DC上,DE=7,EC=3,把線段AE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)后使點(diǎn)E落在直線BC上的點(diǎn)P處,則CP的長(zhǎng)為_____.
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