Question

已知點A（1，0）、B（0，-1）、C（-1，2）、D（2，-1）、E（4，2），且拋物線y=a（x-1）²+k（a＞0）經(jīng)過其中三點．
（l）求證：C、E兩點不可能同時在拋物線y=a（x-1）²+k（a＞0）上；
（2）試問點A在拋物線y=a（x-1）²+k（a＞0）上嗎？說明理由；
（3）直接寫出拋物線可能經(jīng)過的三點．

Answer 1

解：（1）∵拋物線y=a（x-1）²+k的對稱軸為x=1，
而C（-1，2），E（4，2）兩點縱坐標(biāo)相等，
由拋物線的對稱性可知，C、E關(guān)于直線x=1對稱，
又∵C（-1，2）與對稱軸相距2，E（4，2）與對稱軸相距3，
∴C、E兩點不可能同時在拋物線y=a（x-1）²+k（a＞0）上；

（2）假設(shè)點A（1，0）在拋物線y=a（x-1）²+k（a＞0）上，
則a（1-1）²+k=0，解得k=0，
因為拋物線經(jīng)過5個點中的三個點，
將B（0，-1）、C（-1，2）、D（2，-1）、E（4，2）代入，
得出a的值分別為a=-1，a=，a=-1，a=，所以拋物線經(jīng)過的點是B，D，
又因為a＞0，與a=-1矛盾，
所以假設(shè)不成立．
所以A不在拋物線y=a（x-1）²+k（a＞0）上；

（3）將D（2，-1）、C（-1，2）兩點坐標(biāo)代入y=a（x-1）²+k中，
得，
解得，符合題意；
將E（4，2）、D（2，-1）兩點坐標(biāo)代入y=a（x-1）²+k中，
得，
解得，符合題意．
綜上所述，拋物線可能經(jīng)過的三點是B、C、D或B、D、E．
分析：（1）由拋物線的解析式y(tǒng)=a（x-1）²+k可知，拋物線的對稱軸為x=1，而C（-1，2），E（4，2）兩點縱坐標(biāo)相等，如果它們同時在拋物線y=a（x-1）²+k（a＞0）上，那么應(yīng)該關(guān)于直線x=1對稱，但C（-1，2）與對稱軸相距2個單位，E（4，2）與對稱軸相距3個單位，故不可能同時在拋物線y=a（x-1）²+k（a＞0）上；
（2）假設(shè)A點在拋物線上，先將A點的坐標(biāo)代入y=a（x-1）²+k，得出k=0，再根據(jù)拋物線經(jīng)過5個點中的三個點，將B、C、D、E的坐標(biāo)分別代入，求出對應(yīng)的a值，得出矛盾，從而排除A點在拋物線上；
（3）由（2）知點A不在拋物線上，由（1）知C、E兩點不可能同時在拋物線上，又因為B、D兩點關(guān)于對稱軸x=1對稱，所以一定在拋物線上，那么另外一點可能是C點或E點，可以分別將C、D或D、E兩點坐標(biāo)代入求出a和k的值即可判斷．
點評：本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特點．關(guān)鍵是明確圖象上點的坐標(biāo)必須滿足函數(shù)解析式．