Question

8．閱讀材料，回答問題：
（1）中國古代數(shù)學(xué)著作圖1《周髀算經(jīng)》有著這樣的記載：“勾廣三，股修四，經(jīng)隅五．”．這句話的意思是：“如果直角三角形兩直角邊為3和4時，那么斜邊的長為5．”．上述記載表明了：在Rt△ABC中，如果∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c，那么a，b，c三者之間的數(shù)量關(guān)系是：a²+b²=c²．
（2）對于這個數(shù)量關(guān)系，我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽根據(jù)“趙爽弦圖”（如圖2，它是由八個全等直角三角形圍成的一個正方形），利用面積法進(jìn)行了證明．參考趙爽的思路，將下面的證明過程補(bǔ)充完整：
證明：∵S_△ABC=$\frac{1}{2}ab$，S_{正方形ABCD}=c²，
S_{正方形MNPQ}=（a+b）²．
又∵正方形MNPQ的面積=四個全等直角三角形的面積+正方形AEDB的面積，
∴（a+b）²=$4×\frac{1}{2}ab+{c}^{2}$，
整理得a²+2ab+b²=2ab+c²，
∴a²+b²=c²．
（3）如圖3，把矩形ABCD折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，折痕為EF，如果AB=4，BC=8，求BE的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)勾股定理解答即可；
（2）根據(jù)題意、結(jié)合圖形，根據(jù)完全平方公式進(jìn)行計(jì)算即可；
（3）根據(jù)翻折變換的特點(diǎn)、根據(jù)勾股定理列出方程，解方程即可．

解答 解：（1）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c，
由勾股定理得，a²+b²=c²，
故答案為：a²+b²=c²；
（2）∵S_△ABC=$\frac{1}{2}ab$，S_{正方形ABCD}=c²，
S_{正方形MNPQ}=（a+b）²；
又∵正方形的面積=四個全等直角三角形的面積的面積+正方形AEDB的面積，
∴（a+b）²=$4×\frac{1}{2}ab+{c}^{2}$，
整理得，a²+2ab+b²=2ab+c²，
∴a²+b²=c²，
故答案為：（a+b）²；正方形的面積；四個全等直角三角形的面積的面積+正方形AEDB的面積；a²+b²=c²；
（3）設(shè)BE=x，則EC=8-x，
由折疊的性質(zhì)可知，AE=EC=8-x，
在Rt△ABE中，AE²=AB²+BE²，
則（8-x）²=4²+x²，
解得，x=3，
則BE的長為3．

點(diǎn)評 本題考查的是正方形和矩形的性質(zhì)、勾股定理、翻折變換的性質(zhì)，正確理解勾股定理、靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．