Question

14．如圖，在銳角三角形ABC中，∠BAC=60°，BN，CM為高，P是BC的中點(diǎn)，連接MN，MP，NP，則以下結(jié)論：①NP=MP；②當(dāng)∠ABC=60°時(shí)，MN∥BC；③BN=2AN；④當(dāng)∠ABC=45°時(shí)，BN=$\sqrt{2}$PC，其中正確的有（　　）

• A． 1個(gè)
• B． 2個(gè)
• C． 3個(gè)
• D． 4個(gè)

Answer 1

分析 ①由BN、CM為高，P為BC的中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可證得NP=MP；
②由BN、CM為高與∠A是公共角，易證得△AMN∽△ABC，然后由∠BAC=60°與∠ABC=60°，可得△ABC是等邊三角形，則易得∠AMN=∠ABC=60°，即可得MN∥BC；
③根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，可得③錯(cuò)誤；
④由已知條件得到△BCM是等腰直角三角形，得到BM=CM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC，推出BM=CM=$\sqrt{2}$PC，由于BN≠CM，故④錯(cuò)誤．

解答 解：①∵BN、CM為高，
∴∠BMC=∠BNC=90°，
∵P為BC的中點(diǎn)，
∴NP=MP，故①正確；

②∵BN、CM為高，
∴∠BNA=∠CMA=90°，
∵∠A=∠A，
∴△BNA∽△CMA，
∵∠BAC=60°，∠ABC=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴△AMN也是等邊三角形，
∴∠AMN=∠ABC=60°，
∴MN∥BC，故②正確；

③∵∠ABC=60°，
tan60°=$\frac{BN}{AN}$=2，與$\sqrt{3}$矛盾，故③錯(cuò)誤；

④∵∠ABC=45°，
∴△BCM是等腰直角三角形，
∴BM=CM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC，
∵BC=2CP，
∴BM=CM=$\sqrt{2}$PC，
∵BN≠CM，
∴BN≠$\sqrt{2}$PC，故④錯(cuò)誤；
故選B．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)．此題綜合性較強(qiáng)，難度適中，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．