Question

如圖，已知二次函數(shù)圖象的頂點為P（0，-1），且過點（2，3）．點A是拋物線上一點，過點A作y軸的垂線，交拋物線于另一點B，分別過點B、A作x軸的垂線，垂足分別為C、D，連結PA、PD．
（1）求此二次函數(shù)的解析式；
（2）當點A在第一象限內(nèi)時，PA與x軸交點記為E，證明：
①△PED∽△PDA；
②∠APC=90°；
（3）若∠APD=45°，當點A在y軸右側時，請直接寫出點A的坐標．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）直接利用待定系數(shù)法求求出a的值即可；
（2）①利用tan∠PDE=

1

x

，tan∠PAD=

x

x2-1+1

=

1

x

，得出∠PDE=∠PAD，進而得出△PED∽△PDA；
②利用AC²=（2x）²+（x²-1）²=x⁴+2x²+1，PC²+PA²=1²+x²+x²+（x²）²=x⁴+2x²+1
即可得出AC²=PC²+PA²，進而得出答案；
（3）利用H是過ACP三點的圓的圓心，D也在⊙H上，得出∠APC=90°，要滿足∠APD=45°，則有∠AHD=90°，再利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出即可．

解答：解：（1）設拋物線解析式為y=ax²-1，將（2，3）點代入，
3=3a-1，
解得a=1，
∴拋物線解析式為y=x²-1；

（2）①如圖，過P作AD垂線交AD延長線于點，
設A（x，x²-1），則tan∠PDE=

1

x

，tan∠PAD=

x

x2-1+1

=

1

x

，
∴∠PDE=∠PAD，
又∵公共角∠EPD，
∴△PED∽△PDA，
②∵AC²=（2x）²+（x²-1）²=x⁴+2x²+1，
PC²+PA²=1²+x²+x²+（x²）²=x⁴+2x²+1
∴AC²=PC²+PA²，
∴∠APC=90°；
                                   
（3）如備用圖，∵點H為直角三角形ACP的斜邊AC中點，
∴H是過ACP三點的圓的圓心，D也在⊙H上，
∵AC²=PC²+PA²，
∴∠APC=90°，要滿足∠APD=45°，則有∠AHD=90°，
即2x=x²-1，
解得x=1±

2

，
∴A₁（1+

2

，2+2

2

），A₂（1-

2

，2-2

2

），
（方法不唯一，也可用代數(shù)方法解決）．

點評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應用以及相似三角形的判定與性質(zhì)和銳角三角函數(shù)關系等知識，熟練利用勾股定理逆定理得出直角三角形是解題關鍵．