【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=ax2+bx+ca0)與x軸交于A﹣20)、B4,0)兩點,與y軸交于點C,且OC=2OA

1)試求拋物線的解析式;

2)直線y=kx+1k0)與y軸交于點D,與拋物線交于點P,與直線BC交于點M,記m=,試求m的最大值及此時點P的坐標(biāo);

3)在(2)的條件下,點Qx軸上的一個動點,點N是坐標(biāo)平面內(nèi)的一點,是否存在這樣的點Q、N,使得以P、DQ、N四點組成的四邊形是矩形?如果存在,請求出點N的坐標(biāo);如果不存在,請說明理由.

【答案】(1)y=x+2)(x4)或y=x2+x+4y=x12+.(2最大值為,此時P2,4).(3)(,3)或(6,3).

【解析】試題分析:1設(shè)拋物線的解析式為y=ax+2)(x4),根據(jù)已知條件求得點C的坐標(biāo)代入解析式求得a值,即可得拋物線的解析式;(2)作PEx軸于E,交BCF,易證CMD∽△FMP根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得m=,設(shè)Pn,n2+n+4),則Fn,n+4),n表示出PF的長,從而得到m、n的二次函數(shù)關(guān)系式,利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題即可;(3存在這樣的點Q、N,使得以P、D、Q、N四點組成的四邊形是矩形,分DP是矩形的邊和DP是矩形的對角線兩種情況求點N的坐標(biāo).

試題解析:

1)因為拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A﹣2,0)、B4,0)兩點,設(shè)y=ax+2)(x﹣4),

∵OC=2OAOA=2,

∴C0,4),代入拋物線的解析式得到a=﹣

∴y=﹣x+2)(x﹣4)或y=﹣x2+x+4y=﹣x﹣12+

2)如圖1中,作PE⊥x軸于E,交BCF

∵CD∥PE

∴△CMD∽△FMP

∴m==,

直線y=kx+1k0)與y軸交于點D,則D01),

∵BC的解析式為y=﹣x+4,

設(shè)Pn,n2+n+4),則Fn﹣n+4),

∴PF=﹣n2+n+4﹣﹣n+4=﹣n﹣22+2,

∴m==﹣n﹣22+

∵﹣0,

當(dāng)n=2時,m有最大值,最大值為,此時P24).

3)存在這樣的點QN,使得以P、D、Q、N四點組成的四邊形是矩形.

當(dāng)DP是矩形的邊時,有兩種情形,

a、如圖2﹣1中,四邊形DQNP是矩形時,

有(2)可知P2,4),代入y=kx+1中,得到k=,

直線DP的解析式為y=x+1,可得D0,1),E0),

△DOE∽△QOD可得=,

∴OD2=OEOQ,

∴1=OQ,

∴OQ=,

∴Q,0).

根據(jù)矩形的性質(zhì),將點P向右平移個單位,向下平移1個單位得到點N,

∴N2+,4﹣1),即N,3

b、如圖22中,四邊形PDNQ是矩形時,

直線PD的解析式為y=x+1,PQ⊥PD,

直線PQ的解析式為y=﹣x+,

∴Q8,0),

根據(jù)矩形的性質(zhì)可知,將點D向右平移6個單位,向下平移4個單位得到點N,

∴N0+61﹣4),即N6﹣3).

當(dāng)DP是對角線時,設(shè)Qx,0),則QD2=x2+1,QP2=x﹣22+42PD2=13,

∵Q是直角頂點,

∴QD2+QP2=PD2,

∴x2+1+x﹣22+16=13,

整理得x2﹣2x+4=0,方程無解,此種情形不存在,

綜上所述,滿足條件的點N坐標(biāo)為(3)或(6﹣3).

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第一次

第二次

第三次

第四次

第五次

第六次

第七次

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在第幾次紀(jì)錄時距地最遠(yuǎn)?

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(1)當(dāng)n=200時,根據(jù)信息填表:

A

B

C

合計

產(chǎn)品件數(shù)(件)

x

2x

200

運費(元)

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