Question

2．如圖，在矩形ABCD中，AB=8k，BC=5k（k為常數(shù)，且k＞0），動(dòng)點(diǎn)P在AB邊上（點(diǎn)P不與A、B重合），點(diǎn)Q、R分別在BC、DA邊上，且AP：BQ：DR=3：2：1．點(diǎn)A關(guān)于直線PR的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為A′，連接PA′、RA′、PQ．
（1）若k=4，PA=15，則四邊形PARA′的形狀是正方形；
（2）設(shè)DR=x，點(diǎn)B關(guān)于直線PQ的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為B′點(diǎn)．
①記△PRA′的面積為S₁，△PQB′的面積為S₂．當(dāng)S₁＜S₂時(shí)，求相應(yīng)x的取值范圍及S₂-S₁的最大值；（用含k的代數(shù)式表示）
②在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，判斷點(diǎn)B′能否與點(diǎn)A′重合？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）先證明四邊形PARA′是菱形，再根據(jù)∠A=90°，可以推出四邊形PARA′是正方形．
（2）①分別求出S₁，S₂，根據(jù)S₁＜S₂，確定自變量取值范圍，再構(gòu)建S₂-S₁關(guān)于x的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．
②點(diǎn)B'不能與點(diǎn)A'重合，利用反證法即可證明．

解答 解：（1）∵k=4，PA=15，AP：BQ：DR=3：2：1，
∴DR=5，BC=AD=20，AR=AP=15，
∵A、A′關(guān)于PR對(duì)稱(chēng)，
∴RA=RA′=PA=PA′，
∴四邊形PARA′是菱形，
∵∠A=90°，
∴四邊形PARA′是正方形．
故答案為正方形；
（2）解：①由題意可知，BQ=2x，PA=3x，AR=5k-x，BP=8k-3x，
∵S₁=S_△PRA=$\frac{1}{2}$•AR•AP=$\frac{1}{2}$•（5k-x）•3x=-$\frac{3}{2}$x²+$\frac{15}{2}$kx，
S₂=S_△PQB=$\frac{1}{2}$•BP•BQ=$\frac{1}{2}$（8k-3x）•2x=-3x²+8kx，
由S₁＜S₂可得，-$\frac{3}{2}$x²+$\frac{15}{2}kx$＜-3x²+8kx，
∵x＞0，
∴x取值范圍為0＜x＜$\frac{1}{3}$k，
∴S₂-S₁=-$\frac{3}{2}$x²+$\frac{1}{2}$kx=-$\frac{3}{2}$（x-$\frac{k}{6}$）²+$\frac{1}{24}$k²，

∴當(dāng)x=$\frac{k}{6}$時(shí)，S₂-S₁有最大值，最大值為$\frac{1}{24}$k²．
②點(diǎn)B'不能與點(diǎn)A'重合．理由如下：
如圖，假設(shè)點(diǎn)B'與點(diǎn)A'重合，則有∠APR+∠A'PR+∠B'PQ+∠BPQ=180°，
由對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可得，∠A'PR=∠APR，∠B'PQ=∠BPQ，
∴∠APR+∠BPQ=$\frac{1}{2}$×180°=90°，
由∠A=90°可得，∠APR+∠PRA=90°，
∴∠PRA=∠BPQ，
又∵∠A=∠B=90°
∴Rt△PAR∽R(shí)t△QBP，
∴$\frac{PA}{QB}=\frac{AR}{BP}$，即PA•BP=AR•QB．
∴3x（8k-3x）=（5k-x）•2x，解得，x₁=0（不合題意舍去），x₂=2k，
又∵PA=PA'，PB=PB'=PA'，
∴PA=PB，
∴3x=8k-3x，解得x=$\frac{4}{3}$k≠2k，
故點(diǎn)B'不能與點(diǎn)A'重合．

點(diǎn)評(píng) 本題考查四邊形綜合題、正方形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決最值問(wèn)題，注意自變量的取值范圍，學(xué)會(huì)反證法證明的步驟，屬于中考常考題型．