Question

（2011貴州安順，27，12分）如圖，拋物線y=x²+bx－2與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，且A（一1，0）．
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⑴求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
⑵判斷△ABC的形狀，證明你的結(jié)論；
⑶點(diǎn)M(m，0)是x軸上的一個動點(diǎn)，當(dāng)CM+DM的值最小時，求m的值．

Answer 1

（1）∵點(diǎn)A（-1，0）在拋物線y=x² + bx-2上，∴× (-1 )² + b× (-1) –2 = 0，解得b =
∴拋物線的解析式為y=x²-x-2. y=x²-x-2 = ( x² -3x- 4 ) =(x-)²-,
∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為 (, -).
（2）當(dāng)x = 0時y =" -2,      " ∴C（0，-2），OC = 2。
當(dāng)y = 0時， x²-x-2 = 0，     ∴x₁ =" -1," x₂ =" 4,    " ∴B (4,0)
∴OA =" 1,   " OB =" 4,   " AB = 5.
∵AB² =" 25,   " AC² = OA² + OC² =" 5,   " BC² = OC² + OB² = 20,
∴AC² +BC² = AB².               ∴△ABC是直角三角形.
（3）作出點(diǎn)C關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)C′，則C′（0，2），OC′=2，連接C′D交x軸于點(diǎn)M，根據(jù)軸對稱性及兩點(diǎn)之間線段最短可知，MC + MD的值最小。

解法一：設(shè)拋物線的對稱軸交x軸于點(diǎn)E.
∵ED∥y軸, ∴∠OC′M=∠EDM,∠C′OM=∠DEM
∴△C′OM∽△DEM.
∴
∴，∴m =．
解法二：設(shè)直線C′D的解析式為y = kx + n ,
則，解得n =" 2,"  .
∴ .
∴當(dāng)y = 0時， ，
 .    ∴.解析:
略