Question

如圖，在直角梯形OBCD中，OB=8，BC=1，CD=10．
（1）求C，D兩點的坐標(biāo)；
（2）若線段OB上存在點P，使PD⊥PC，求過D，P，C三點的拋物線的表達式．

Answer 1

解：（1）過點C作CE⊥OD于點E，則四邊形OBCE為矩形．
∴CE=OB=8，OE=BC=1．
∴．
∴OD=DE+OE=7．
∴C，D兩點的坐標(biāo)分別為C（8，1），D（0，7）．

（2）∵PC⊥PD，
∴∠1+∠2=90度．
又∠1+∠3=90°，
∴∠2=∠3．
∴Rt△POD∽Rt△CBP．
∴PO：CB=OD：BP．
即PO：1=7：（8-PO）．
∴PO²-8PO+7=0．
∴PO=1，或PO=7．
∴點P的坐標(biāo)為（1，0），或（7，0）．
①當(dāng)點P的坐標(biāo)為（1，0）時，
設(shè)經(jīng)過D，P，C三點的拋物線表達式為y=ax²+bx+c，
則，
∴，
∴所求拋物線的表達式為：y=x²-x+7．
②當(dāng)點P為（7，0）時，設(shè)經(jīng)過D，P，C三點的拋物線表達式為y=ax²+bx+c，
則，
∴
∴所求拋物線的表達式為：y=x²-x+7．

分析：（1）過點C作CE⊥OD于點E，則四邊形OBCE為矩形．利用矩形的性質(zhì)可求得：C，D兩點的坐標(biāo)分別為C（8，1），D（0，7）．（2）根據(jù)PC⊥PD，可知∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°，∠2=∠3．則Rt△POD∽Rt△CBP，可求PO：1=7：（8-PO）．求得PO=1，或PO=7．則點P的坐標(biāo)為（1，0），或（7，0）．設(shè)經(jīng)過D，P，C三點的拋物線表達式為y=ax²+bx+c，分別利用待定系數(shù)法可求得①當(dāng)點P的坐標(biāo)為（1，0）時，所求拋物的表達式為：y=x²-x+7．
②當(dāng)點P為（7，0）時，所求拋物線的表達式為：y=x²-x+7．
點評：本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，其中涉及到的知識點有待定系數(shù)法求函數(shù)解析式和三角形全等的判定以及全等的性質(zhì)等．要熟練掌握才能靈活運用．