Question

已知（如圖），在△ABC中，D是BC的中點，過點D的直線GF交AC于點F，交AC的平行線BG于點G，DE⊥GF，交AB于點E，連結EF．
（1）求證：BG=CF．
（2）試判斷BE+CF與EF的大小關系，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）先利用ASA判定△BGD≌△CFD，從而得出BG=CF；
（2）再利用全等的性質可得GD=FD，再有DE⊥GF，從而得出EG=EF，兩邊和大于第三邊從而得出BE+CF＞EF．

解答：（1）證明：∵BG∥AC，
∴∠DBG=∠DCF．
∵D為BC的中點，
∴BD=CD
在△BGD與△CFD中，

∠DBG=∠DCF BD=CD ∠BDG=∠CDF

，
∴△BGD≌△CFD（ASA）．
∴BG=CF．

（2）解：BE+CF＞EF．
連接EG，
∵△BGD≌△CFD，
∴GD=FD，BG=CF．
又∵DE⊥FG，
∴EG=EF（垂直平分線到線段端點的距離相等）．
∴在△EBG中，BE+BG＞EG，
即BE+CF＞EF．

點評：本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL．
注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角．