Question

在Rt△ABC中，∠BAC=90°，三角形的角平分線CE和高AD相交于點(diǎn)F，過F作FG∥BC交AB于點(diǎn)G，求證：（1）AE=BG．（2）若∠B=30°，F(xiàn)D=5，求四邊形EBDF的面積．

Answer 1

分析：（1）過F作FM⊥AC并延長MF交BC于N，判定四邊形GBDF為平行四邊形，進(jìn)而證明△AMF≌△NDF，得出AE=BG；
（2）根據(jù)S_四EBDF=S_△ABC-S_△AEC-S_△CDF，進(jìn)而求出幾個(gè)三角形的面積，從而得出答案．

解答：（1）證明：∵∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴∠1+∠BAD=∠B+∠BAD=90°，
∴∠1=∠B，
∵CE是角平分線，
∴∠2=∠3，
∵∠5=∠1+∠2，∠4=∠3+∠B，
∴∠4=∠5，
∴AE=AF，
過F作FM⊥AC并延長MF交BC于N，
∴MN∥AB，
∵FG∥BD，
∴四邊形GBNF為平行四邊形，
∴GB=FN，
∵AD⊥BC，CE為角平分線，
∴FD=FM，
在Rt△AMF和Rt△NDF中

∠AMF=∠NDF=90° FM=FD ∠6=∠7

，
∴△AMF≌△NDF，
∴AF=FN，
∴AE=BG；

（2）解：∵∠B=30°，AB∥NF，
∴∠8=30°，
在Rt△FDN中，F(xiàn)N=2FD=10，
∴AF=AE=BG=FN=10，
∴∠BAD=60°，
∴△AEF為等邊三角形，
∴EF=AE=10，
∵GF∥BC，
∴∠EGB=∠B=30°，
∠4=∠9+∠10=60°，
∴∠9=∠10=30°，
EG=EF=10，
在Rt△ABC中，tan30°=

AC

AB

=

AC

30

=

3

3

，
∴AC=10

3

，∠2=30°，
在Rt△CDF中，tan∠3=

FD

CD

=

5

CD

=

3

3

，
∴CD=5

3

，
∴S_四EBDF=S_△ABC-S_△AEC-S_△CDF=

1

2

×30×10

3

-

1

2

×10×10

3

-

1

2

×5×5

3

=

175 3

2

．

點(diǎn)評：此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定以及全等三角形的性質(zhì)與判定以及三角函數(shù)的應(yīng)用等知識，題目綜合性較強(qiáng)，四邊形面積求法利用三角形之間的差求出是解決問題的關(guān)鍵．