Question

關(guān)于二次函數(shù)y=2x²-mx+m-2，以下結(jié)論：①拋物線交x軸有交點(diǎn)；②不論m取何值，拋物線總經(jīng)過點(diǎn)（1，0）；③若m＞6，拋物線交x軸于A、B兩點(diǎn)，則AB＞1；④拋物線的頂點(diǎn)在y=-2（x-1）²圖象上．其中正確的序號是（　　）

A．①②③④

B．①②③

C．①②④

D．②③④

Answer 1

分析：由二次函數(shù)的解析式，找出二次項系數(shù)a，一次項系數(shù)b及常數(shù)項c，將a，b及c的值代入b²-4ac，利用完全平方公式化簡后，根據(jù)完全平方式恒大于等于0，可得出b²-4ac大于等于0，進(jìn)而確定出該拋物線與x軸有交點(diǎn)，故①正確；將x=1代入拋物線解析式，求出y=0，可得出此拋物線恒過（1，0），故②正確；令拋物線解析式中y=0，得到關(guān)于x的一元二次方程，設(shè)方程的兩個解分別為x₁，x₂，利用根與系數(shù)的關(guān)系表示出x₁+x₂，x₁x₂，AB的長可以用|x₁-x₂|表示，利用二次根式的化簡根式

a2

=|a|變形后，再利用完全平方公式化簡，將表示出的x₁+x₂及x₁x₂代入，化簡后根據(jù)m大于6，可得出AB的長大于1，故③正確；利用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式表示出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，代入y=-2（x-1）²中經(jīng)驗，可得出拋物線的頂點(diǎn)在y=-2（x-1）²圖象上，故④正確，綜上，得到正確的序號．

解答：解：二次函數(shù)y=2x²-mx+m-2，
∵a=2，b=-m，c=m-2，
∴b²-4ac=（-m）²-8（m-2）=（m-4）²≥0，
則拋物線與x軸有交點(diǎn)，故①正確；
∵當(dāng)x=1時，y=2-m+m-2=0，
∴不論m取何值，拋物線總經(jīng)過點(diǎn)（1，0），故②正確；
設(shè)A的坐標(biāo)為（x₁，0），B（x₂，0），
令y=0，得到2x²-mx+m-2=0，
∴x₁+x₂=

m

2

，x₁x₂=

m-2

2

，
∴AB=|x₁-x₂|=

(x1+x2) 2-4x1x2

=

( m 2 )  2-2(m-2)

=|

m-4

2

|，
當(dāng)m＞6時，可得m-4＞2，即

m-4

2

＞1，
∴AB＞1，故③正確；
∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（

m

4

，

8m-16-m2

8

），
∴將x=

m

4

代入得：y=-2（

m

4

-1）²=-2（

m2

16

-

m

2

+1）=

8m-16-m2

8

，
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)在y=-2（x-1）²圖象上，故④正確，
綜上，正確的序號有①②③④．
故選A

點(diǎn)評：此題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，以及二次函數(shù)的性質(zhì)，涉及的知識有：拋物線與x軸交點(diǎn)的判斷方法，根與系數(shù)的關(guān)系，頂點(diǎn)坐標(biāo)公式，以及判斷一個點(diǎn)是否在拋物線上，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．