Question

【題目】如圖，在中，，是邊上的中點(diǎn)，是邊上任意一點(diǎn)，且．若點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)恰好落在的中位線(xiàn)上，則__________．

Answer 1

【答案】或

【解析】

取BC、AB的中點(diǎn)H、G，連接MH、HG、MG．分三種情形：①如圖1中，當(dāng)點(diǎn)C′落在MH上時(shí)；②如圖2中，當(dāng)點(diǎn)C′落在GH上時(shí)；③如圖3中，當(dāng)點(diǎn)C′落在直線(xiàn)GM上時(shí)，分別求解即可解決問(wèn)題.

∵

∴AB=20,

取BC、AB的中點(diǎn)H、G，連接MH、HG、MG．
如圖1中，當(dāng)點(diǎn)C′落在MH上時(shí)，設(shè)NC=NC′=x，

∵MH是△ABC的中位線(xiàn)，

∴MC=MC′=8，MH=10，

∴ HC′=10-8=2，HN=6-x，
在Rt△HNC′中，∵HN2=HC′2+NC′2，
∴（6-x）2=x2+22，
解得x=．
如圖2中，當(dāng)點(diǎn)C′落在GH上時(shí)，設(shè)NC=NC′=x，

在Rt△GMC′中，MG=CH=6，MC=MC′=8，
∴GC′=，
∵∠NHC'=∠C'GM=90°，∠NC'M=90°，
∴∠HNC'+∠HC'N=∠GC'M+∠HC'N=90°，
∴∠HNC'=∠CGC'M，
∴△HNC′∽△GC′M，
∴，
∴，
∴．
如圖3中，當(dāng)點(diǎn)C′落在直線(xiàn)GM上時(shí)，易證四邊形MCNC′是正方形，可得CN=CM=8．

∴C'M＞GM，
此時(shí)點(diǎn)C′在中位線(xiàn)GM的延長(zhǎng)線(xiàn)上，不符合題意．
綜上所述，滿(mǎn)足條件的線(xiàn)段CN的長(zhǎng)為或．
故答案為：或．