Question

3．在△ABC中，∠C=90°，D是AC上的點(diǎn)，∠A=∠DBC，將線段BD繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D落在線段AC的延長線上點(diǎn)D₁處，已知BC：AC=1：2，則cos∠AD₁B的值等于$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 由∠A=∠DBC、∠C=90°可得到△ACB∽△BDC，由此得出DC：BC=BC：AC=1：2，通過旋轉(zhuǎn)得到△BDD₁為等腰三角形，利用角度轉(zhuǎn)換就可以得出cos∠AD₁B的值．

解答 解：如圖所示：

∵∠C=90°，∠A=∠DBC，
∴△ACB∽△BDC，
∴BC：AC=DC：AC，
∵BC：AC=1：2，
∴DC：AC=1：2，
設(shè)DC為a，則BC=2a
∴DB=$\sqrt{{a}^{2}+（2a）^{2}}$=$\sqrt{5}$a
∵BD繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到BD₁
∴BD=BD₁，
∴∠AD₁B=∠BDC
∴cos∠AD₁B=cos∠BDC=a：$\sqrt{5}$a=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、相似三角形性質(zhì)、勾股定理及三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵是要利用旋轉(zhuǎn)得出∠AD₁B=∠BDC，實(shí)現(xiàn)了對(duì)所求角三角函數(shù)的轉(zhuǎn)化．