Question

如圖1是一種機(jī)械裝置，直線BC為地面，所在等邊△ABC是固定支架，機(jī)械臂AD以A為圓心，進(jìn)行擺動(dòng)，同時(shí)，機(jī)械臂DM以D為圓心轉(zhuǎn)動(dòng)．

已知：A距地面高度是5.9米，AD長4米，DM長1米，
（1）這個(gè)機(jī)械運(yùn)動(dòng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出：AM的最大值是

 

；
（2）若AM與⊙D相切，求A、M的距離；
（3）如圖2，若機(jī)械臂從AD₁的位置旋轉(zhuǎn)60°后到AD₂的位置，此時(shí)∠AD₂C=150°，且D₂C=3，求BD₂的長，并直接寫出這個(gè)旋轉(zhuǎn)過程中BM的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題,線段的性質(zhì)：兩點(diǎn)之間線段最短,等邊三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,切線的性質(zhì),旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

專題：動(dòng)點(diǎn)型

分析：（1）根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”可得AM≤AD+DM，從而可以求出AM的最大值．
（2）由AM與⊙D相切可得∠AMD=90°，利用勾股定理就可解決問題．
（3）由于已知線段AD₂和CD₂與要求的線段BD₂有一個(gè)公共端點(diǎn)，很難聯(lián)系起來，可通過旋轉(zhuǎn)（將△CD₂B繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到達(dá)△CEA的位置），從而將這三條線段轉(zhuǎn)化到同一個(gè)三角形中，然后運(yùn)用勾股定理即可求出BD₂；要使得BM最小，只需點(diǎn)M在線段BD上且BD最小，因此點(diǎn)M在圖4位置時(shí)BM最小，就可求出BM的最小值．

解答：解：（1）根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”可得AM≤AD+DM，即AM≤5．
當(dāng)點(diǎn)M在線段AD₂的延長線上時(shí)，AM達(dá)到最大，最大值為5米．
故答案為：5米．

（2）如圖3，
∵AM與⊙D相切，
∴∠AMD=90°．
∵AD=4，DM=1，
∴AM=

AD2-MD2

=

42-12

=

15

．
∴當(dāng)AM與⊙D相切時(shí)，A、M之間的距離為

15

．

（3）由于△ABC是等邊三角形，
因此將△CD₂B繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后到達(dá)△CEA的位置，如圖4，
則有AE=BD₂，CE=CD₂，∠ECD₂=60°．
∴△CED₂是等邊三角形．
∴ED₂=CD₂=3，∠CD₂E=60°．
∵∠AD₂C=150°，
∴∠AD₂E=90°．
∵AD₂=4，ED₂=3，
∴AE=5．
∴BD₂=5．
根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”可得：當(dāng)點(diǎn)M在線段BD上且BD最小時(shí)BM最短，
因此當(dāng)點(diǎn)M在圖4位置時(shí)BM最小，最小值為4．

點(diǎn)評(píng)：本題在圖形的運(yùn)動(dòng)變化中考查了切線的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)，有一定的綜合性，而通過旋轉(zhuǎn)變換將共頂點(diǎn)的三條線段轉(zhuǎn)化到同一個(gè)三角形中是解決第三小題的關(guān)鍵．