Question

16．如圖，已知一次函數(shù)y=kx+b與反比例函數(shù)的圖象交于點A（m，6）和B（2，3）．
（1）求反比例函數(shù)的解析式和求一次函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)圖象回答，當(dāng)x在什么范圍內(nèi)時，一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值？
（3）若直線y=kx+b與x軸交于點C，在x軸上是否存在點D，使得△BCD是以BC為腰的等腰三角形？若存在，請直接寫出點D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法即可求得反比例函數(shù)的解析式，則A的坐標(biāo)即可求得，然后利用待定系數(shù)法求得一次函數(shù)解析式；
（2）求x在什么范圍內(nèi)時，一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值，就是求一次函數(shù)的圖象在反比例函數(shù)的圖象上邊的自變量的取值；
（3）首先求得C的坐標(biāo)，然后分B是頂角頂點和C是頂角頂點兩種情況進行討論，即可求解．

解答 解：（1）設(shè)反比例函數(shù)的解析式是y=$\frac{k}{x}$，
把B（2，3）代入解析式得：k=6，
則反比例函數(shù)的解析式是y=$\frac{6}{x}$．
把（m，6）代入反比例函數(shù)的解析式得m=$\frac{6}{6}$=1．
則A的坐標(biāo)是（1，6）．
根據(jù)題意得：$\left\{\begin{array}{l}{k+b=6}\\{2k+b=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-3}\\{b=9}\end{array}\right.$．
則一次函數(shù)的解析式是y=-3x+9；
（2）根據(jù)圖象可得：當(dāng)1＜x＜2時，一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值；
（3）在y=-3x+9中，令y=0，解得：x=3，則C的坐標(biāo)是（3，0）．
作BF⊥x軸于點F，當(dāng)B時等腰三角形的頂角頂點時，D和C關(guān)于F對稱，則D的坐標(biāo)是（1，0）；
BC=$\sqrt{（3-2）^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，當(dāng)C是等腰三角形的頂角頂點時，D的坐標(biāo)是（3+$\sqrt{10}$，0）或（$\sqrt{10}$-3，0）．
總之，D的坐標(biāo)是：（1，0）或（3+$\sqrt{10}$，0）或（$\sqrt{10}$-3，0）．

點評 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式以及等腰三角形的性質(zhì)，正確對等腰△BCD進行討論是關(guān)鍵．