Question

如圖，平面直角坐標系xOy中，已知拋物線經(jīng)過A（4，0）、B（0，4）、C（-2，0）三點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點M為拋物線上的一動點，且位于第一象限內(nèi)，設△AMB的面積為S，試求S的最大值；
（3）若點P是拋物線上的動點，點Q是直線y=-x上的動點，判斷共有幾個位置能使以點P、Q、B、O為頂點且以BO為其中一條底邊的四邊形是直角梯形，請直接寫出相應的點Q的坐標．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：（1）設出拋物線解析式，將三點坐標代入可得出拋物線解析式；
（2）過點M作MC⊥OA于點C′，表示出四邊形BOAM的面積及△BOA的面積，繼而得出△AMB的面積，利用二次函數(shù)的最值求解可得出S的最大值；
（3）根據(jù)直角梯形的特點，結合題意要求OB為直角梯形的底邊，則梯形需要滿足∠B=90°或∠O=90°，分別畫出圖形，即可得出點Q的坐標；

解答：解：（1）設拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，
將A、B、C三點坐標代入可得：

16a+4b+c=0 4a-2b+c=0 c=4

，
解得：

a=- 1 2 b=1 c=4

．
故拋物線的解析式為：y=-

1

2

x²+x+4．

（2）過點M作MC⊥OA于點C′，

設點M的坐標為（x，-

1

2

x²+x+4），
則S_{四邊形BOAM}=S_{梯形BOC′M}+S_△MC′A=

1

2

（BO+C′M）×OC′+

1

2

AC′×C′M=

1

2

（4-

1

2

x²+x+4）x+

1

2

（4-x）×（-

1

2

x²+x+4）=-x²+4x+8；
S_△AOB=

1

2

OB×OA=8，
故S_△AMB=S_{四邊形BOAM}-S_△AOB=-x²+4x=-（x-2）²+4，
故當x=2時，即點M的坐標為（2，4）時，△AMB的面積最大，最大值為4．

（3）
作直線y=-x，若以OB為底邊的直角梯形中，∠0=90°，此時點P與點C重合，
則此時點Q的坐標為（-2，2）；
若以OB為底邊的直角梯形中，∠B=90°，
過點B作OB的垂線，則于拋物線的交點即為點P的位置，
此時點的Q坐標為（2，-2）．

點評：此題考查了二次函數(shù)的綜合，涉及了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、直角梯形及三角形的面積，解答第二問的關鍵是根據(jù)S_△AMB=S_{四邊形BOAM}-S_△AOB表示出△AMB的面積，難點在第三問，注意OB為直角梯形的底邊這個限制條件．