【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸相交于A,B兩點(diǎn),與y軸相交于點(diǎn)C,直線y=kx+n(k≠0)經(jīng)過B,C兩點(diǎn),已知A(1,0),C(0,3),且BC=5.

(1)分別求直線BC和拋物線的解析式(關(guān)系式);
(2)在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)P,使得以B,C,P三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形?若存在,請求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

【答案】
(1)解:∵C(0,3),即OC=3,BC=5,

∴在Rt△BOC中,根據(jù)勾股定理得:OB= =4,即B(4,0),

把B與C坐標(biāo)代入y=kx+n中,得:

解得:k=﹣ ,n=3,

∴直線BC解析式為y=﹣ x+3;

由A(1,0),B(4,0),設(shè)拋物線解析式為y=a(x﹣1)(x﹣4)=ax2﹣5ax+4a,

把C(0,3)代入得:a=

則拋物線解析式為y= x2 x+3


(2)解:存在.

如圖所示,分兩種情況考慮:

∵拋物線解析式為y= x2 x+3,

∴其對稱軸x=﹣ =﹣ =

當(dāng)P1C⊥CB時,△P1BC為直角三角形,

∵直線BC的斜率為﹣

∴直線P1C斜率為 ,

∴直線P1C解析式為y﹣3= x,即y= x+3,

與拋物線對稱軸方程聯(lián)立得 ,

解得: ,

此時P( );

當(dāng)P2B⊥BC時,△BCP2為直角三角形,

同理得到直線P2B的斜率為 ,

∴直線P2B方程為y= (x﹣4)= x﹣ ,

與拋物線對稱軸方程聯(lián)立得: ,

解得: ,

此時P2 ,﹣2).

綜上所示,P1 , )或P2 ,﹣2).

當(dāng)點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)時,設(shè)P( ,y),

∵B(4,0),C(0,3),

∴BC=5,

∴BC2=PC2+PB2,即25=( 2+(y﹣3)2+( ﹣4)2+y2,解得y= ,

∴P3 , ),P4 , ).

綜上所述,P1 , ),P2 ,﹣2),P3 , ),P4 , ).


【解析】(1)利用勾股定理求出B坐標(biāo),再把A、C坐標(biāo)代入解析式即可;(2)“以B,C,P三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形”須分類討論:點(diǎn)P為直角頂點(diǎn);點(diǎn)C為直角頂點(diǎn);點(diǎn)B為直角頂點(diǎn);分別過C、B作垂線與對稱軸相交,當(dāng)P為直角頂點(diǎn)時,可利用勾股定理列方程.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,A、B均在邊長為1的正方形網(wǎng)格格點(diǎn)上.

1)求線段AB所在直線的函數(shù)解析式,并寫出當(dāng)0≤y≤2時,自變量x的取值范圍

2)將線段AB繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°,得到線段AC,請在網(wǎng)格中畫出線段AC

3)若直線AC的函數(shù)解析式為ykx+b,則yx的增大而   (填增大減小).

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【題目】如圖,直線AB,CD交于點(diǎn)OOB平分∠DOE,OF是∠BOC的角平分線.

(1)說明:∠AOC=∠BOE

(2)若∠AOC46°,求∠EOF的度數(shù);

(3)若∠EOF30°,求∠AOC的度數(shù).

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【題目】如圖,在⊙O中,半徑OA⊥OB,過點(diǎn)OA的中點(diǎn)C作FD∥OB交⊙O于D、F兩點(diǎn),且CD= ,以O(shè)為圓心,OC為半徑作 ,交OB于E點(diǎn).

(1)求⊙O的半徑OA的長;
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【題目】如圖,某小區(qū)有一塊長為米、寬為米的長方形地塊該長方形地塊。該長方形地塊正中間是一個長為米的長方形,四個角是大小相同的正方形,該小區(qū)計劃

將如圖陰影部分進(jìn)行綠化,對四個角的四個正方形采用A綠化方案,對正中間的長方形采用B綠化方案.

(1)采用A綠化方案的每個正方形邊長是多少米,采用B綠化方案的長方形另一邊長是多少米(用含的代數(shù)式表示)

(2)若采用A、B兩種綠化方案的總造價相同,均為2700,請你判斷哪種方案單位面積造價高?并說明理由.

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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A2,3),點(diǎn)B﹣2,1),在x軸上存在點(diǎn)PA,B兩點(diǎn)的距離之和最小,則P點(diǎn)的坐標(biāo)是

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【題目】已知二次函數(shù)y=ax2﹣bx+0.5b﹣a與x軸交于A、B兩點(diǎn),則線段AB的最小值為( )
A.0.5
B.2
C.
D.無法確定

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(1)當(dāng)﹣2x3時,求y的取值范圍;

(2)已知點(diǎn)P(m,n)在該函數(shù)的圖象上,且m﹣n=4,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

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