Question

7．【問題背景】
在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF=60°，試探究圖1中線段BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系．
【初步探索】
小亮同學(xué)認(rèn)為：延長FD到點(diǎn)G，使DG=BE，連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，則可得到 BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系是EF=BE+FD．

【探索延伸】
在四邊形ABCD中如圖2，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD，上述結(jié)論是否任然成立？說明理由．
【結(jié)論運(yùn)用】
如圖3，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30°的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動指令后，艦艇甲向正東方向以60海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，艦艇乙沿北偏東50°的方向以80海里/小時(shí)的速度前進(jìn)1.5小時(shí)后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)E，F(xiàn)處，且兩艦艇之間的夾角（∠EOF）為70°，試求此時(shí)兩艦艇之間的距離．

Answer 1

分析 探索延伸：延長FD到G，使DG=BE，連接AG，證明△ABE≌△ADG和△AEF≌△GAF，得到答案；
結(jié)論運(yùn)用：連接EF，延長AE、BF交于點(diǎn)C，得到EF=AE+BF，根據(jù)距離、速度和時(shí)間的關(guān)系計(jì)算即可．

解答 解：初步探索：EF=BE+FD，
故答案為：EF=BE+FD，
探索延伸：結(jié)論仍然成立，
證明：如圖2，延長FD到G，使DG=BE，連接AG，
∵∠B+∠ADC=180°，∠ADG+∠ADC=180°
∴∠B=∠ADG，
在△ABE和△ADG中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=DG}\\{∠B=∠ADG}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADG，
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
∵∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD，
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，
∴∠EAF=∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AG}\\{∠EAF=∠GAF}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△GAF，
∴EF=FG，
∴FG=DG+FD=BE+DF；
結(jié)論運(yùn)用：解：如圖3，連接EF，延長AE、BF交于點(diǎn)C，
∵∠AOB=30°+90°+（90°-70°）=140°，
∠EOF=70°，
∴∠EOF=$\frac{1}{2}$∠AOB，
∵OA=OB，
∠OAC+∠OBC=（90°-30°）+（70°+50°）=180°，
∴符合探索延伸中的條件
∴結(jié)論EF=AE+BF成立，
即EF=1.5×（60+80）=210海里，
答：此時(shí)兩艦艇之間的距離是210海里．

點(diǎn)評 本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵，注意要正確作出輔助線．