Question

14．如圖，AB是圓O的一條直徑，弦CD垂直于AB，垂足為點G、E是劣弧BD上一點，點E處的切線與CD的延長線交于點P，連接AE，交CD于點F．
（1）求證：PE=PF
（2）已知AG=4，AF=5，EF=25，求圓O的直徑．

Answer 1

分析 （1）如圖1，連接OE，根據(jù)切線的性質(zhì)得出∠PEO=90°，求出∠PEF=∠PFE，根據(jù)等腰三角形的判定得出即可；
（2）如圖2，連接BE，根據(jù)相似三角形的判定得出△AGF∽△AEB，得出比例式，代入求出即可．

解答 （1）證明：如圖1，連接OE，

∵EP是⊙O的切線，
∴∠PEO=90°，
∴∠OEA+∠PEF=90°，
∵AB⊥CD，
∴∠AGF=90°，
∴∠A+∠AFG=90°，
∵OE=OA，
∴∠OEA=∠OAE，
∴∠PEF=∠AFG，
∵∠EFP=∠AFG，
∴∠PEF=∠PFE，
∴PE=PF；

（2）解：如圖2，連接BE，

∵AB為直徑，
∴∠AEB=90°，
∵∠AGF=90°，
∴∠AGF=∠AEB，
∵∠A=∠A，
∴△AGF∽△AEB，
∴$\frac{AG}{AE}$=$\frac{AF}{AB}$，
∵AG=4，AF=5，EF=25，
∴$\frac{4}{5+25}$=$\frac{5}{AB}$，
∴AB=$\frac{75}{2}$，
即圓O的直徑為$\frac{75}{2}$．

點評 本題考查了切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能綜合運用知識點進行推理和計算是解此題的關(guān)鍵．