Question

（2013•吳江市模擬）如圖所示，點B坐標為（18，0），點A坐標為（18，6），動點P從點O開始沿OB以每秒3個單位長度的速度向點B移動，動點Q從點B開始沿BA以每秒1個單位長度的速度向點A移動．如果P、Q分別從O、B同時出發(fā)，用t（秒）表示移動的時間（0＜t≤6），那么，
（1）當t=

3或5.4

時，以點P、B、Q為頂點的三角形與△AOB相似；
（2）若設四邊形OPQA的面積為y，試寫出y與t的函數(shù)關系式，并求出t取何值時，四邊形OPQA的面積最��？
（3）在y軸上是否存在點E，使點P、Q在移動過程中，以B、Q、E、P為頂點的四邊形的面積是一個常數(shù)，請求出點E的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）討論：當∠BPQ=∠BOA，即PQ∥OA，由相似三角形：Rt△QPB∽Rt△AOB，的對應邊成比例求得t=3；當∠BPQ=∠A，則Rt△BPQ∽Rt△BAO，由相似三角形的對應邊成比例知

BP

BA

=

BQ

BO

，即

18-3t

6

=

t

18

，即可得到t=5.4；
（2）利用y=S_△OAB-S_△BPQ=

1

2

×18×6-

1

2

×（18-3t）t，然后利用配方法求得該二次函數(shù)的最值，即求出t取何值時，四邊形OPQA的面積最��；
（3）當點E在y軸正半軸時，利用以B、Q、E、P為頂點的四邊形的面積=梯形BQEO的面積-△OPE的面積，用t與m表示出來為

1

2

（t+m）×18-

1

2

×3t×m=（9-

3

2

m）t+9m，當t的系數(shù)為0時即可得到m的值；
當點E在y軸負半軸時，S=S_△EPB+S_△PBQ=

1

2

（18-3t）（-m）-

1

2

（18-3t）t=-

3

2

t²+

3

2

mt+9t-9m．此時不存在m的值，使S的值為常數(shù)．

解答：解：∵點B坐標為（18，0），點A坐標為（18，6），
∴BO=18，AB=6，AB⊥0B．
（1）當∠BPQ=∠BOA，即PQ∥OA，Rt△QPB∽Rt△AOB，
則

BP

BO

=

BQ

BA

，即

18-3t

18

=

t

6

，
解得t=3；
當∠BPQ=∠A，則Rt△BPQ∽Rt△BAO，
∴

BP

BA

=

BQ

BO

，即

18-3t

6

=

t

18

，
∴t=5.4．
所以當t=3秒或5.4秒時，以點P、Q、B為頂點的三角形與△AOB相似．

（2）y=S_△OAB-S_△BPQ=

1

2

×18×6-

1

2

×（18-3t）t=

3

2

（t-3）²+

81

2

，即y=

3

2

（t-3）²+

81

2

．
則當t=3，四邊形OPQA的面積最�。�

（3）存在．理由如下：
設以B、Q、E、P為頂點的四邊形面積是S，E（0，m）．
①如圖1，當E在y軸的正半軸上時，則
S=S_梯形BQEO-S_△OPE=

1

2

（t+m）×18-

1

2

×3t×m=（9-

3

2

m）t+9m．
故當9-

3

2

m=0，即m=6時，S=54是一個定值；
②如圖2，當點E在y軸的正半軸上時，則S=S_△EPB+S_△PBQ=

1

2

（18-3t）（-m）-

1

2

（18-3t）t=-

3

2

t²+

3

2

mt+9t-9m．
此時不存在m的值，使S的值為常數(shù)．
綜上所述，點E的坐標（0，6）使點P、Q在移動過程中，以B、Q、E、P為頂點的四邊形的面積是一個常數(shù)．
故答案為：3或5.4．

點評：本題考查了三角形相似的判定與性質：兩組對應角相等的三角形相似；相似三角形的對應邊的比相等．也考查了分類討論思想的運用以及三角形的面積公式．