Question

如圖，在邊長(zhǎng)為10的菱形ABCD中，對(duì)角線BD=16，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，P是BD上的動(dòng)點(diǎn)，則△PAE周長(zhǎng)的最小值為

 

．（結(jié)果保留根號(hào)）

Answer 1

考點(diǎn)：軸對(duì)稱-最短路線問題,菱形的性質(zhì)

專題：

分析：根據(jù)要求的結(jié)論，△PAE周長(zhǎng)的最小值即是PA+PE最小，點(diǎn)P又在BD上，則連接AC，EC，與BD的交點(diǎn)即為點(diǎn)P，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，求得△PAE周長(zhǎng)的最小值，進(jìn)而求得△PAE周長(zhǎng)的最小值；

解答：解：如圖：連接EC，與BD的交于點(diǎn)P，連接AC，此時(shí)△PAE周長(zhǎng)的最�。�
∵菱形ABCD，
∴AC⊥BD，
∵BC=10，BD=16，
∴OB=OD=8，
∴OC=

BC2-OD2

=6，
∴AC=12，
∴S_△ACB=

1

2

AC•OB=

1

2

×12×8=48，
∵AE=BE=5，
∴S_△AEC=24，
過E作EF⊥AC于F，
∵S_△AEC=

1

2

AC•EF=

1

2

×12EF=24，
∴EF=4，
∴AF=

AE2-EF2

=

52-42

=3，
∴CF=AC-AF=12-3=9，
∴CE=

CF2+EF2

=

92+42

=

97

，
∵PA=PC，
∴PA+PE=CE=

97

，
∴PA+PE+AE=5+

97

，
故答案為：5+

97

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了菱形的性質(zhì)，等腰三角形的判定、勾股定理的應(yīng)用、三角形面積公式的應(yīng)用及點(diǎn)對(duì)稱的應(yīng)用．