Question

△ABC是銳角三角形，BC=6，面積為12，點P在AB上，點Q在AC上，如圖所示，正方形PQRS（RS與A在PQ的異側）的邊長為x，正方形PQRS與△ABC公共部分的面積為y．
（1）當RS落在BC上時，求x；
（2）當RS不落在BC上時，求y與x的函數關系式；
（3）求公共部分面積的最大值．

Answer 1

解：（1）過A作AD⊥BC于D交PQ于E，則AD=4，
由△APQ∽△ABC，得，故x=．

（2）①當RS落在△ABC外部時，由△APQ∽△ABC，得AE=，
故y=x（4-x）=-x²+4x（＜x≤6）；
②當RS落在△ABC內部時，y=x²（0＜x＜）．

（3）①當RS落在△ABC外部時，y=-x²+4x=-（x-3）²+6 （＜x≤6），
∴當x=3時，y有最大值6，
②當RS落在BC邊上時，由x=可知，y=，
③當RS落在△ABC內部時，y=x²（0＜x＜），
故比較以上三種情況可知：公共部分面積最大為6；
分析：（1）當RS落在BC上時，先求△ABC的BC邊上的高，由△APQ∽△ABC，利用相似比求x；
（2）分為當RS落在△ABC外部或內部兩種情況，當RS在△ABC外部時，由相似得公共部分的長、寬，表示面積，當RS在△ABC內部時，正方形面積即為公共部分面積；
（3）根據（1）（2）所求函數關系式，結合自變量取值范圍分別求最大值，比較得出結論．
點評：本題考查了二次函數最值在求長方形面積中的運用．關鍵是根據題意表示長方形的面積，再根據自變量的取值范圍及二次函數的最值求法求解．本題還考查了分類討論的數學思想．