Question

△ABC是銳角三角形，BC=6，面積為12，點(diǎn)P在AB上，點(diǎn)Q在AC上，如圖所示，正方形PQRS（RS與A在PQ的異側(cè)）的邊長為x，正方形PQRS與△ABC公共部分的面積為y．
（1）當(dāng)RS落在BC上時(shí)，求x；
（2）當(dāng)RS不落在BC上時(shí)，求y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）求公共部分面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)RS落在BC上時(shí)，先求△ABC的BC邊上的高，由△APQ∽△ABC，利用相似比求x；
（2）分為當(dāng)RS落在△ABC外部或內(nèi)部兩種情況，當(dāng)RS在△ABC外部時(shí)，由相似得公共部分的長、寬，表示面積，當(dāng)RS在△ABC內(nèi)部時(shí)，正方形面積即為公共部分面積；
（3）根據(jù)（1）（2）所求函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合自變量取值范圍分別求最大值，比較得出結(jié)論．

解答：解：（1）過A作AD⊥BC于D交PQ于E，則AD=4，
由△APQ∽△ABC，得

4-x

4

=

x

6

，故x=

12

5

．

（2）①當(dāng)RS落在△ABC外部時(shí)，由△APQ∽△ABC，得AE=

2

3

x，
故y=x（4-

2

3

x）=-

2

3

x²+4x（

12

5

＜x≤6）；
②當(dāng)RS落在△ABC內(nèi)部時(shí)，y=x²（0＜x＜

12

5

）．

（3）①當(dāng)RS落在△ABC外部時(shí)，y=-

2

3

x²+4x=-

2

3

（x-3）²+6  （

12

5

＜x≤6），
∴當(dāng)x=3時(shí)，y有最大值6，
②當(dāng)RS落在BC邊上時(shí)，由x=

12

5

可知，y=

144

25

，
③當(dāng)RS落在△ABC內(nèi)部時(shí)，y=x²（0＜x＜

12

5

），
故比較以上三種情況可知：公共部分面積最大為6；

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)最值在求長方形面積中的運(yùn)用．關(guān)鍵是根據(jù)題意表示長方形的面積，再根據(jù)自變量的取值范圍及二次函數(shù)的最值求法求解．本題還考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想．