Question

如圖，邊長為1的正方形ABCD 放置在平面直角坐標系中，頂點A與坐標原點O 重合，點B在x軸上．將正方形ABCD沿x軸正方向作無滑動滾動，當點D第一次落在x軸上時，D點的坐標是

 

，D點經(jīng)過的路徑的總長度是

 

；當點D第2014次落在x軸上時，D點經(jīng)過的路徑的總長度是

 

．

Answer 1

考點：弧長的計算,坐標與圖形變化-旋轉

專題：規(guī)律型

分析：由題意可知，將正方形ABCD沿x軸正方向作無滑動滾動，當點D第一次落在x軸上時，D點的坐標是（3，0）；D點經(jīng)過的路徑的總長度=圓心角為90°，半徑為

2

的弧長+圓心角為90°，半徑為1的弧長；由于正方形ABCD每滾動4次為一個周期，每一個周期點D落在x軸上一次，進而求出點D第2014次落在x軸上時，D點經(jīng)過的路徑的總長度．

解答：解：如圖，正方形ABCD每滾動4次為一個周期，
當點D第一次落在x軸上時，正方形ABCD滾動2次，D點的坐標是（3，0）；
D點經(jīng)過的路徑的總長度是

90π× 2

180

+

90π×1

180

=

2 +1

2

π；
每一個周期中D點經(jīng)過的路徑的總長度是

90π× 2

180

+

90π×1

180

×2=（

2

2

+1）π，
當點D第2014次落在x軸上時，D點經(jīng)過的路徑的總長度是：2013（

2

2

+1）π+

2 +1

2

π=（1007

2

+

4027

2

）π．
故答案為（3，0）；

2 +1

2

π；（1007

2

+

4027

2

）π．

點評：本題考查了旋轉的性質，弧長的計算，難度適中．理解題意，得出正方形ABCD每滾動4次為一個周期是解題的關鍵．