Question

在下列語(yǔ)句中，敘述正確的個(gè)數(shù)為（　�。�
①相等的圓周角所對(duì)弧相等； ②同圓或等圓中，同弦或等弦所對(duì)圓周角相等；
③一邊上的中線(xiàn)等于這條邊的一半的三角形是直角三角形；  ④等弧所對(duì)圓周角相等．

Answer 1

分析：①等弧是針對(duì)于同圓或等圓來(lái)說(shuō)的，它不適用于大小不等的圓，若沒(méi)有條件“在同圓或等圓中”，相等的圓周角所對(duì)弧不一定相等，此沒(méi)有為假命題；
②同圓或等圓中，同弦或等弦所對(duì)圓周角不一定相等，可畫(huà)出圖形，舉出反例說(shuō)明此命題為假命題，如圖所示；
③此命題為真命題，可根據(jù)命題畫(huà)出圖形，找出已知與求證，根據(jù)中點(diǎn)的定義得到CD與BD相等，都為BC的一半，又AD也為BC的一半，故AD與CD相等，AD與BD相等，利用等邊對(duì)等角可得兩對(duì)角相等，又根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到兩對(duì)角之和為180°，等量代換可得∠BAC為直角，可得三角形ABC為直角三角形，得證；
④根據(jù)等弧所對(duì)圓周角相等正確．等弧是指在同圓或等圓．

解答：解：①在同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)弧相等，
等弧是針對(duì)于同圓或等圓來(lái)說(shuō)的，它不適用于大小不等的圓，此命題為假命題；
②同圓或等圓中，同弦或等弦所對(duì)圓周角不一定相等，
如圖：BC為圓O的弦，∠A與∠D都為弦BC所對(duì)的圓周角，
但是∠A與∠D互補(bǔ)，不一定相等，
此命題為假命題；

③“一邊上的中線(xiàn)等于這條邊的一半的三角形是直角三角形”，此命題為真命題，理由為：
已知：△ABC中，AD為BC邊上的中線(xiàn)，且AD=

1

2

BC，
求證：△ABC為直角三角形．

證明：∵AD為BC邊上的中線(xiàn)，
∴CD=BD=

1

2

BC，又AD=

1

2

BC，
∴CD=BD=AD，
∴∠C=∠CAD，∠DAB=∠B，
又∠C+∠CAB+∠B=180°，即∠C+∠CAD+∠DAB+∠B=180°，
∴2（∠CAD+∠DAB）=180°，
∴∠CAD+∠DAB=90°，即∠CAB=90°，
則△ABC為直角三角形，
本選項(xiàng)正確；
④等弧所對(duì)圓周角相等，此命題為真命題，本選項(xiàng)正確，
綜上，真命題為③④，
故選B．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓周角定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，利用了數(shù)形結(jié)合及轉(zhuǎn)化的思想，解答此類(lèi)題時(shí)，常常要明白要說(shuō)明一個(gè)命題為真命題必須經(jīng)過(guò)嚴(yán)格的證明，要說(shuō)明一個(gè)命題為假命題，只需舉一個(gè)反例即可．