【題目】如圖,P為邊長為2的正方形ABCD的對角線BD上任一點,過點PPEBC于點EPFCD于點F,連接EF.給出以下4個結論:①APEF;②APEF;③EF最短長度為;④若∠BAP30°時,則EF的長度為2.其中結論正確的有( 。

A. ①②③B. ①②④C. ②③④D. ①③④

【答案】A

【解析】

連接PC,可證得ABP≌△CBP,結合矩形的性質(zhì),可證得PAEF,國判斷①;延長APBC于點G,可證得APEF,可判斷②;求得AP的最小值即可求得EF的最短長度,可判斷③;當點P在點B或點D時,AP有最大值2,則可判斷④;可求得答案.

解:

①如圖,連接PC,

∵四邊形ABCD為正方形,

ABBC,∠ABP=∠CBP45°,

ABPCBP

∴△ABP≌△CBPSAS),

APPC,

PEBC,PFCD,且∠FCE90°

∴四邊形PECF為矩形,

PCEF,

APEF,故①正確;

②延長APBC于點G,

由①可得∠PCE=∠PFE=∠BAP

PEAB,

∴∠EPG=∠BAP,

∴∠EPG=∠PFE

∵∠EPF90°,

∴∠EPG+PEF=∠PEG+PFE90°,

APEF,故②正確;

③當APBD時,AP有最小值,此時PBD的中點,

由①可知EFAP

EF的最短長度為,故③正確;

④當點P在點B或點D位置時,APAB2,

EFAP≤2,

∴當∠BAP30°時,AP2

EF的長度不可能為2,故④不正確;

綜上可知正確的結論為①②③,

故選:A

練習冊系列答案
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2)拓展延伸:若圖1中的∠BAC120°,其余條件不變,請解答下列問題:

A,B兩題中任選一題作答我選擇   

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②如圖3,在ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)的過程中,當DE的延長線經(jīng)過點C時,請直接寫出線段AD,BD,CD之間的等量關系;

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證明:

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