Question

6．如圖，直線AB解析式為y=2x+4，C（0，-4），AB交x軸于A，A為拋物線頂點，交y軸于C，
（1）求拋物線解析式？
（2）將拋物線沿AB平移，此時頂點即為E，如頂點始終在AB上，平移后拋物線交y軸于F，求當(dāng)△BEF于△BAO相似時，求E點坐標(biāo)．
（3）記平移后拋物線與直線AB另一交點為G，則S_△BFG與S_△ACD是否存在8倍關(guān)系？若有，直接寫出F點坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）易求得A、B的坐標(biāo)，設(shè)出頂點式，代入C的坐標(biāo)根據(jù)待定系數(shù)法即可求得解析式；
（2）由于頂點在直線AB上，根據(jù)題意設(shè)出解析式為y=-（x+2-m）²+2m，即可得出E（m-2，2m），F(xiàn)（0，-m²+6m-4），根據(jù)三角形相似的性質(zhì)得出tan∠BFE=$\frac{2-m}{2m-（-{m}^{2}+6m-4）}$=2，解方程即可求得m的值，從而求得E的坐標(biāo)；
（3）求得D的坐標(biāo)，根據(jù)（2）可知G（-4+m，-4+2m），根據(jù)題意S_△BFG=1或64，S_△BFG=$\frac{1}{2}$BF•|x_G|=$\frac{1}{2}$|4-（-m²+6m-4）|•|-4+m|，根據(jù)（2）中可知2m²-7m+6=0，則m²=3.5m-3 代入得S_△BFG=$\frac{5}{4}$|m²-6m+8|，然后分兩種情況列出關(guān)于m的方程，解方程求得m的值，即可求得F的坐標(biāo)．

解答 解：（1）由直線AB解析式為y=2x+4可知A（-2，0），B（0，4），
∵A為拋物線頂點，
∴設(shè)頂點式y(tǒng)=a（x+2）²，
代入C（0，-4）得-4=4a，
解得a=-1，
∴拋物線解析式為y=-（x+2）²=-x²-4x-4；
（2）由于頂點在直線AB上，故可假設(shè)向右平移m個單位，再向上平移2m個單位、
即解析式為y=-（x+2-m）²+2m，
∴E（m-2，2m），F(xiàn)（0，-m²+6m-4），
∵△BAO∽△BFE，
∴tan∠BFE=tan∠BAO=2，
∵tan∠BFE=$\frac{2-m}{2m-（-{m}^{2}+6m-4）}$=2，
化簡得2m²-7m+6=0，
解得m₁=2（舍去，與B點重合），m₂=$\frac{3}{2}$
∴E（-$\frac{1}{2}$，3）；
（3）令2x+4=-x²-4x-4，解得D（-4，-4），
由于G點是由D點平移得來，在第二問的條件下，易得G（-4+m，-4+2m）
∴S_△ACD=8，
∴S_△BFG=1或64，
∵S_△BFG=$\frac{1}{2}$BF•|x_G|=$\frac{1}{2}$|4-（-m²+6m-4）|•|-4+m|，
由第二問可知，2m²-7m+6=0，則m²=3.5m-3 代入得S_△BFG=$\frac{5}{4}$|m²-6m+8|，
①當(dāng)$\frac{5}{4}$|m²-6m+8|=1時，
化簡得m²-6m+8=±$\frac{4}{5}$，
∴-m²+6m=$\frac{44}{5}$或-m²+6m=$\frac{36}{5}$，
∵F（0，-m²+6m-4），
∴F₁（0，$\frac{24}{5}$），F(xiàn)₂（0，$\frac{16}{5}$）；
②當(dāng)$\frac{5}{4}$|m²-6m+8|=64時，
化簡得m²-6m+8=±$\frac{256}{5}$，
∴-m²+6m=-$\frac{216}{5}$或-m²+6m=$\frac{296}{5}$（舍去，無解），
∵F（0，-m²+6m-4），
∴F₃（0，-$\frac{236}{5}$），
綜上，F(xiàn)點坐標(biāo)為（0，$\frac{24}{5}$）或（0，$\frac{16}{5}$）或（0，-$\frac{236}{5}$）．

點評 本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，平移的性質(zhì)，三角形相似的性質(zhì)以及三角形的面積等，分類討論思想的運用是解題的關(guān)鍵．