Question

已知：如圖1，在△ABC中，∠ABC=45°，H是高AD、BE的交點(diǎn)．
（1）求證：BH=AC；
（2）若∠A改成鈍角后，結(jié)論BH=AC還成立嗎？若成立請(qǐng)證明，若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）證明：∵∠DAC+∠C=90°，∠EBC+∠C=90°，
∴∠DAC=∠EBC．
∵∠ABC=45°，
∴△ABD是等腰直角三角形．
∴AD=BD．
又∵∠ADC=∠BDH，
∴Rt△BDH≌Rt△ADC．
∴BH=AC．

（2）解：如圖，HB=AC仍然成立．
證明：∵∠H+∠HAE=90°，∠C+∠CAD=90°，
又∵∠HAE=∠DAC，
∴∠H=∠C．
∵∠ABC=45°，∠ADB=90°，
∴三角形ABD是等腰直角三角形．
∴AD=BD．
又∵∠BDH=∠ADC，
∴Rt△BDH≌Rt△ADC．
∴BH=AC．
分析：（1）可通過(guò)全等三角形來(lái)證BH=AC，那么關(guān)鍵是證三角形ADC和BDH全等．已知的條件有一組直角，∠DAC和∠EBC都是∠C的余角，因此也相等，只要再證得一組對(duì)應(yīng)邊相等即可得出結(jié)論．我們發(fā)現(xiàn)∠ABC=45°，因此三角形ABD是等腰直角三角形，因此AD=BD，這樣兩三角形全等的所有條件就都湊齊了，即可得出BH=AC的結(jié)論．
（2）同（1）的方法完全相同，也是通過(guò)證明三角形HBD和ADC全等來(lái)證得．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)．解答該題時(shí)，圍繞結(jié)論尋找全等三角形，運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)判定對(duì)應(yīng)線段相等．