【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,O為原點,點A(8,0)、點B(0,4),點C、D分別是邊OA、AB的中點.將△ACD繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn),得△AC′D′,記旋轉(zhuǎn)角為α.

(I)如圖,連接BD′,當(dāng)BD′∥OA時,求點D′的坐標(biāo);

(II)如圖,當(dāng)α=60°時,求點C′的坐標(biāo);

(III)當(dāng)點B,D′,C′共線時,求點C的坐標(biāo)(直接寫出結(jié)果即可).

【答案】(I)(10,4)或(6,4)(II)C′(6,2)(III)①C′(8,4)②

C′(,﹣

【解析】

(I)如圖①,當(dāng)OBAC′,四邊形OBC′A是平行四邊形,只要證明B、C′、D′共線即可解決問題,再根據(jù)對稱性確定D″的坐標(biāo);

(II)如圖②,當(dāng)α=60°時,作C′KACK.解直角三角形求出OK,C′K即可解決問題;

(III)分兩種情形分別求解即可解決問題;

:(I)如圖①,

A(8,0),B(0,4),

OB=4,OA=8,

AC=OC=AC′=4,

∴當(dāng)OBAC′,四邊形OBC′A是平行四邊形,

∵∠AOB=90°,

∴四邊形OBC′A是矩形,

∴∠AC′B=90°,∵∠AC′D′=90°,

B、C′、D′共線,

BD′OA,

AC=CO, BD=AD,

CD=C′D′=OB=2,

D′(10,4),

根據(jù)對稱性可知,點D″在線段BC′上時,D″(6,4)也滿足條件.

綜上所述,滿足條件的點D坐標(biāo)(10,4)或(6,4).

(II)如圖②,當(dāng)α=60°時,作C′KACK.

RtAC′K中,∵∠KAC′=60°,AC′=4,

AK=2,C′K=2,

OK=6,

C′(6,2).

(III)①如圖③中,當(dāng)B、C′、D′共線時,由(Ⅰ)可知,C′(8,4).

②如圖④中,當(dāng)B、C′、D′共線時,BD′OAF,易證BOF≌△AC′F,

OF=FC′,設(shè)OF=FC′=x,

RtABC′中,BC′==8,

RTBOF中,OB=4,OF=x,BF=8﹣x,

(8﹣x)2=42+x2,

解得x=3,

OF=FC′=3,BF=5,作C′KOAK,

OBKC′,

==,

==,

KC′=,KF=

OK=,

C′(,﹣).

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