Question

10．如圖1，AB是⊙O的直徑，OD⊥AB，點(diǎn)E為⊙O上一點(diǎn)，過E作⊙O的切線與OD交于點(diǎn)D，連接BE，BE與OD交于點(diǎn)F．
（1）求證：DE=DF；
（2）如圖2，點(diǎn)G在⊙O上，連接EG，交OD于點(diǎn)K，連接BG并延長交OD于點(diǎn)M，若EK=EF，求證：∠OMB=2∠ABE；
（3）在（2）的條件下，若DM=2，tan∠OMB=$\frac{3}{4}$，求線段EF的長．

Answer 1

分析 （1）欲證明DE=DF，只要證明∠DEF=∠DFE，利用等角的余角相等即可證明．
（2）設(shè)∠OFB=∠EAB=x，只要證明∠OMB=180°-2x，∠ABE=90°-x即可．
（3）在RT△EOR和RT△MOB中，利用tan∠EOR=tan∠BMO=$\frac{3}{4}$，設(shè)ER=3a，則OR=4a，OE=5a，列出方程求出a，再根據(jù)tan∠EBA=tan∠FEH求出EF即可．

解答 （1）證明：如圖1中，連接OE，
∵OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB，
∵DE切⊙O于點(diǎn)E，
∴OE⊥DE，
∴∠OED=90°，
∴∠OEB+∠DEF=90°．
∵DO⊥OB于點(diǎn)O，
∴∠DOB=90°，
∴∠OBE+∠OFB=90°，
∴∠OFB=∠DEF=∠DFE，
∴DE=DF．
（2）證明：如圖2中，連接AE，
∵BA為直徑，
∴∠AEB=90°，
∴∠ABE+∠EAB=90°，
∵∠OBF+∠OFB=90°，
∴設(shè)∠OFB=∠EAB=x，
∵EK=EF，
∴∠EFK=∠EKF=x，
∴∠MKG=∠EKF=∠EFK=∠EAB=x，
∵∠MGK=∠EAB，
∴∠MGK=∠MKG=x，
∴∠OMB=180°-2x，
∵∠ABE=90°-x，
∴∠OMB=2∠ABE，
（3）如圖2中，過點(diǎn)E作EH⊥KF于點(diǎn)H，連接OE，
∵OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB，
∴∠EOA=2∠ABE，
∵∠OMB=2∠ABE，
∴∠EOA=∠OMB，
過點(diǎn)E作ER⊥OA于點(diǎn)R，
設(shè)ER=3a，則OR=4a，OE=5a，則AR=a，
則tan∠EAB=3，得tan∠EBA=tan∠FEH=$\frac{1}{3}$，
∴OB=5a，又∵tan∠OMB=$\frac{3}{4}$，
∴OM=$\frac{20}{3}a$，EH=4a，tan∠EDH=$\frac{3}{4}$，
∴DH=$\frac{16}{3}a$，OH=3a，
∴MH=$\frac{11}{3}$a，
∴DM=$\frac{5}{3}a$=2，
∴a=$\frac{6}{5}$，
∴EH=$\frac{24}{5}$，F(xiàn)H=$\frac{1}{3}$EH=$\frac{8}{5}$
∴EF=$\sqrt{E{H}^{2}+H{F}^{2}}$=$\frac{8}{5}\sqrt{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的有關(guān)知識(shí)、等角對(duì)等邊、三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵是設(shè)未知數(shù)，用方程的思想去思考問題，注意三角函數(shù)在本題中的靈活應(yīng)用，屬于中考?jí)狠S題．