Question

15．如圖，已知拋物線y=-x²+mx+3與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0）
（1）求m的值及拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PA+PC的值最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）首先把點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0）代入拋物線y=-x²+mx+3，利用待定系數(shù)法即可求得m的值，繼而求得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）首先連接BC交拋物線對(duì)稱軸l于點(diǎn)P，則此時(shí)PA+PC的值最小，然后利用待定系數(shù)法求得直線BC的解析式，繼而求得答案．

解答 解：（1）把點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0）代入拋物線y=-x²+mx+3得：0=-3²+3m+3，
解得：m=2，
∴y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（1，4）．

（2）連接BC交拋物線對(duì)稱軸l于點(diǎn)P，則此時(shí)PA+PC的值最小，
設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+b，
∵點(diǎn)C（0，3），點(diǎn)B（3，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=3k+b}\\{3=b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直線BC的解析式為：y=-x+3，
當(dāng)x=1時(shí)，y=-1+3=2，
∴當(dāng)PA+PC的值最小時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（1，2）．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、待定系數(shù)法求解析式以及距離最短問(wèn)題．注意找到點(diǎn)P的位置是解此題的關(guān)鍵．