Question

如圖，在平面直角坐標系中，A（4，0），B（4，4），C（0，4），點F、D分別在x軸、y軸上，正方形DEFO的邊長為a（a＜2），連接AC、AE、CF．
（1）求圖中△AEC的面積，請直接寫出計算結果；
（2）將圖中正方形ODEF繞點O旋轉一周，在旋轉的過程中，S_△AEC是否存在最大值、最小值？如果不存在，請說明理由；如果存在，在備用圖中畫出相應位置的圖形，并直接寫出最大值、最小值；
（3）將圖1中正方形ODEF繞點O旋轉，當點E在第二象限時，設E（x，y），△AEC的面積為S，求S關于x的函數(shù)關系式．

Answer 1

分析：（1）∵A（4，0），B（4，4），C（0，4），∴可以知道正方形ABCO的邊長為4，而S_△AEC=S_△AOC+S_梯形CEFO
-S_△EFA．這樣就求出了該三角形的面積．
（2）如圖2，當E點旋轉到正方形的對角線H點時，S_△AHC最�。�當E點運動到G點S_△AHC最大，根據(jù)三角形面積公式可以求出其面積．
（3）首先利用OE不變把y用含x和a的式子表示出來，然后根據(jù)第一問求△AEC的面積的方法，表示出S后通過化簡就可以求出S與x之間的函數(shù)關系式．

解答：解：（1）由圖形得S_△AEC=S_△AOC+S_梯形CEFO-S_△EFA
∴S_△AEC=

4×4

2

+

a(a+4)

2

-

a(4+a)

2

=8

（2）如圖，S_△AHC=S_△AEC最小=8-4a
S_△AGC=S_△AEC最大=8+4a

（3）在正方形EFOD中，由勾股定理得：
EO=

2

a
∵E（x，y）
∴OG=-x，EG=y
在Rt△EGO中，由勾股定理得：
y²+x²=2a²
∴y=

2a2-x2

EG=

2a2-x2

∴S=8+

-x( 2a2-x2 +4)

2

-

(4-x) 2a2-x2

2

S=8-2x-2

2a2-x2

．

點評：本題是一道有關旋轉問題的試題，考查了三角形的面積公式、勾股定理、正方形的性質以及旋轉的性質和利用圖形面積求函數(shù)的表達式．