Question

如圖，在平面直角坐標系中，函數y=x的圖象l是第一、三象限的角平分線．
實驗與探究：
由圖觀察易知A（0，2）關于直線l的對稱點A'的坐標為（2，0），請在圖中分別標明B（5，3）、C（-2，5）關于直線l的對稱點B′、C′的位置，并寫出它們的坐標：B′

（3，5）

、C′

（5，-2）

；
歸納與發(fā)現：
結合圖形觀察以上三組點的坐標，你會發(fā)現：坐標平面內任一點P（m，n）關于第一、三象限的角平分線l的對稱點P′的坐標為

（n，m）

；
運用與拓廣：
已知兩點D（0，-3）、E（-1，-4），試在直線l上確定一點Q，使點Q到D、E兩點的距離之和最小，并求出Q點坐標．

Answer 1

分析：（1）根據對稱軸為第一、三象限的角平分線，結合圖形得出B′、C′兩點坐標；
（2）由（1）的結論，并與B、C兩點坐標進行比較，得出一般規(guī)律；
（3）由軸對稱性作出滿足條件的Q點，求出直線D′E的解析式，與直線y=x聯立，可求Q點的坐標，得出結論．

解答：解：（1）如圖，由點關于直線y=x軸對稱可知，B'（3，5），C'（5，-2）…（2分）

（2）由（1）的結果可知，
坐標平面內任一點P（m，n）關于第一、三象限的角平分線l的對稱點P′的坐標為 （n，m） 　  …（3分）

（3）由（2）得，D（0，-3）關于直線l的對稱點D'的坐標為（-3，0），連接D'E交直線l于點Q，此時點Q到D、E兩點的距離之和最小  
設過D'（-3，0）、E（-1，-4）的設直線的解析式為y=kx+b，
則

-3k+b=0 -k+b=-4

∴

k=-2 b=-6

∴y=-2x-6．
由

y=-2x-6 y=x

得

x=-2 y=-2

，
∴所求Q點的坐標為（-2，-2）…（9分）

點評：本題考查了一次函數的綜合運用．關鍵是由軸對稱的知識，結合圖形，得出關于直線y=x軸對稱的兩點坐標關系．