Question

如圖，已知矩形紙片ABCD，AD=2，AB=4．將紙片折疊，使頂點(diǎn)A與邊CD上的點(diǎn)E重合，折痕FG分別與AB，CD交于點(diǎn)G，F(xiàn)，AE與FG交于點(diǎn)O．

（1）如圖1，求證：A，G，E，F(xiàn)四點(diǎn)圍成的四邊形是菱形；

（2）如圖2，當(dāng)△AED的外接圓與BC相切于點(diǎn)N時(shí)，求證：點(diǎn)N是線段BC的中點(diǎn)；

（3）如圖2，在（2）的條件下，求折痕FG的長．

 

Answer 1

【答案】

（1）證明見解析（2）證明見解析（3）

【解析】解：（1）由折疊的性質(zhì)可得，GA=GE，∠AGF=∠EGF，

∵DC∥AB，

∴∠EFG=∠AGF，

∴∠EFG=∠EGF，

∴EF=EG=AG，

∴四邊形AGEF是平行四邊形（EF∥AG，EF=AG），

又∵AG=GE，

∴四邊形AGEF是菱形．

（2）連接ON，

∵△AED是直角三角形，AE是斜邊，點(diǎn)O是AE的中點(diǎn)，△AED的外接圓與BC相切于點(diǎn)N，

∴ON⊥BC，

∵點(diǎn)O是AE的中點(diǎn)，

∴ON是梯形ABCE的中位線，

∴點(diǎn)N是線段BC的中點(diǎn)．

 

（3）∵OE、ON均是△AED的外接圓的半徑，

∴OE=OA=ON=2，

故可得AE=AB=4，

在RT△ADE中，AD=2，AE=4，

∴∠AED=30°，

在RT△OEF中，OE=2，∠AED=30°，

∴，

故可得FG=

（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)判斷出AG=GE，∠AGF=∠EGF，再由CD∥AB得出∠EFG=∠AGF，從而判斷出EF=AG，得出四邊形AGEF是平行四邊形，繼而結(jié)合AG=GE，可得出結(jié)論．

（2）連接ON，則ON⊥BC，從而判斷出ON是梯形ABCE的中位線，繼而可得出結(jié)論．

（3）根據(jù)（1）可得出AE=AB，繼而在RT△ADE中，可判斷出∠AED為30°，在RT△EFO中求出FO，繼而可得出FG的長度