Question

如圖，已知矩形紙片ABCD中，AB=3，BC=6，E在矩形ABCD的邊AD上，點(diǎn)F在矩形ABCD的邊BC上，且BF=5，把矩形紙片ABCD沿EF折疊，BF的對應(yīng)線段FB′交邊AD于點(diǎn)G．

（1）判斷△EFG是何種特殊三角形，并證明你的結(jié)論．
（2）在折疊過程中，不重疊部分（陰影圖形）的周長之和p會發(fā)生變化嗎？若不變化，請求出p的值；若變化，請說明理由．
（3）當(dāng)△EFG是銳角三角形時(shí)，求AE的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用翻折變換的性質(zhì)得出：∠1=∠3，2=∠3，則∠1=∠2，即可得出答案；
（2）利用翻折變換的性質(zhì)得出AE=A′E，B′F=BF，AB′=AB′，即可得出答案；
（3）分別求出當(dāng)B′F⊥AD時(shí)，則∠AGF=90°，以及當(dāng)FB′經(jīng)過點(diǎn)D時(shí)，分別得出AE的長，即可得出AE的取值范圍．

解答：解：（1）△EFG是等腰三角形，
理由：根據(jù)題意得出：∠1=∠3，2=∠3，
∴∠1=∠2，
∴EG=GF，
∴△EFG是等腰三角形；

（2）不變，
理由：根據(jù)翻折變換的性質(zhì)得出：AE=A′E，B′F=BF，AB′=AB′，
∴陰影圖形的周長之和p為：AB+CD+BC+AD=18；

（3）當(dāng)B′F⊥AD時(shí)，則∠AGF=90°，
∴EG=FG=AB=3，
∵BF=5，
∴AE=2，
當(dāng)FB′經(jīng)過點(diǎn)D時(shí)，
則FD=

CD2+FC2

=

10

，
∴ED=

10

，
∴AE=AD=ED=

10

，
∴△EFG是銳角三角形時(shí)，AE的取值范圍是：2＜AE≤6-

10

．

點(diǎn)評：此題主要考查了四邊形綜合應(yīng)用以及翻折變換的性質(zhì)和勾股定理等知識，利用極值法進(jìn)行分類討論得出AE的取值范圍是解題關(guān)鍵．