Question

19．如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A的平分線與BC相交于點(diǎn)D，點(diǎn)E在AB上，DE=DC，以D為圓心，DB長為半徑作⊙D．
（1）AC與⊙D相切嗎？
（2）你能找到AB、BE、AC之間的數(shù)量關(guān)系嗎？

Answer 1

分析 （1）過D作DF⊥AC于F，如圖，利用角平分線的性質(zhì)定理可得到DF=DB，則根據(jù)切線的判定方法可判斷AC是⊙D的切線；
（2）先判斷AB是圓D的切線，則根據(jù)切線長定理得到AB=AF，再證明△BDE≌△FDC得到BE=CF，于是得到AC=AF+CF=AB+BE．

解答 解：（1）AC與⊙D相切．理由如下：
過D作DF⊥AC于F，如圖，
∵AD平分∠BAC，∠B=∠AFD=90°，
∴DF=DB，
∴AC是⊙D的切線；
（2）∵∠B=90°，DB為半徑，
∴AB是圓D的切線，
∴AB=AF，
在Rt△BDE與Rt△FDC中，
$\left\{\begin{array}{l}{DE=CD}\\{DB=DF}\end{array}\right.$
∴△BDE≌△FDC（HL），
∴BE=CF，
∴AC=AF+CF=AB+BE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．在判定一條直線為圓的切線時(shí)，當(dāng)已知條件中未明確指出直線和圓是否有公共點(diǎn)時(shí)，常過圓心作該直線的垂線段，證明該線段的長等于半徑；當(dāng)已知條件中明確指出直線與圓有公共點(diǎn)時(shí)，常連接過該公共點(diǎn)的半徑，證明該半徑垂直于這條直線．靈活應(yīng)用角平分線的性質(zhì)定理和運(yùn)用全等三角形的知識(shí)解決線段相等的問題．