Question

閱讀下列材料，解答相應問題：
已知△ABC是等邊三角形，AD是高，設AD=h．點P（不與點A、B、C重合）到AB的距離PE=h₁，到AC的距離PF=h₂，到BC的距離PH=h₃．
如圖1，當點P與點D重合時，我們容易發(fā)現(xiàn)：h₁=

1

2

h，h₂=

1

2

h，因此得到：h₁+h₂=h．
小明同學大膽猜想提出問題：如圖2，若點P在BC邊上，但不與點D重合，結論h₁+h₂=h還成立嗎？通過證明，他得到了肯定的答案．證明如下：
證明：如圖3，連接AP．
∴S_△ABC=S_△ABP+S_△APC．
設等邊三角形的邊長AB=BC=CA=a．
∵AD⊥BC，PE⊥AB，PF⊥AC，
∴

1

2

BC•AD=

1

2

AB•PE+

1

2

AC•PF
∴

1

2

a•h=

1

2

a•h₁+

1

2

a•h₂．
∴h₁+h₂=h．
（1）進一步猜想：當點P在BC的延長線上，上述結論還成立嗎？若成立，請你證明；若不成立，請猜想h₁，h₂與 h之間的數(shù)量關系，并證明．（借助答題卡上的圖4）
（2）我們容易知道，當點P在CB的延長線及直線AB，AC上時，情況與前述類似，這里不再說明．
繼續(xù)猜想，你會進一步提出怎樣的問題呢？請在答題卡上借助圖5畫出示意圖，寫出你提出的問題，并直接寫出結論，不必證明．

Answer 1

分析：（1）首先確定當點P在BC的延長線上，上述結論不成立；應為：h₁-h₂=h．然后連接AP，利用三角形面積的方法，即可求得答案；
（2）此問為開放題，答案不唯一，只要學生能夠結合圖形，合理提出問題，猜想出結論即可，注意解題的方法也是利用三角形面積的方法．

解答：解：（1）當點P在BC的延長線上，上述結論不成立；
應為：h₁-h₂=h．
證明：如圖，連接AP．
設等邊三角形的邊長AB=BC=CA=a．
∵AD⊥BC，PE⊥AB，PF⊥AC，
∴

1

2

BC•AD=

1

2

AB•PE-

1

2

AC•PF．
∴

1

2

a•h=

1

2

a•h₁-

1

2

a•h₂．
∴h₁-h₂=h．

（2）如圖：當點P在CB的延長線上時，h₂-h₁=h．
此問為開放題，答案不唯一，只要學生能夠結合圖形，合理提出問題，猜想出結論即可．

點評：此題考查了學生的閱讀分析能力與等邊三角形的性質，以及利用面積法解題的知識．此題難度不大，注意分析，注意數(shù)形結合思想的應用．